Тепер ми хочемо пояснити, чому енергія Uмех, про яку йшлося в попередньому параграфі, не справжня енергія, пов'язана з постійними струмами, чому в неї немає прямого зв'язку з повною енергією всього Всесвіту. Правда, ми підкреслили, що нею можна користуватися як енергією, коли обчислюєш сили з принципу віртуальної роботи, за умови, що струм у петлі (і всі інші струми) не змінюється. Подивимося тепер, чому ж усе так виходить.
Уявімо, що петля на фіг. 15.2 рухається в напрямку +х, а вісь z приймемо за напрямок В. Електрони провідності на стороні 2 відчуватимуть дію сили, що штовхає їх уздовж провода, у напрямку y. Але внаслідок їхнього руху по проводу тече електричний струм і є складова швидкості vy у тому самому напрямку, у якому діє сила. Тому над кожним електроном щосекунди виконуватиметься робота Fy vy , де vy — компонента швидкості електрона, напрямлена вздовж провода. Цю роботу, що виконується над електронами, ми назвемо електричною. Виявляється, що коли петля рухається в однорідному полі, то повна електрична робота дорівнює нулю, тому що на одній частині петлі робота додатна, а на іншій — рівна їй від'ємна. Але при русі контуру в неоднорідному полі це не так — тоді залишається якийсь чистий надлишок однієї роботи над іншою. Загалом ця робота прагне змінити потік електронів, але якщо він підтримується незмінним, то енергія поглинається або вивільняється в батарейці чи в іншому джерелі, яке зберігає струм постійним. Ось саме ця енергія і не враховувалася, коли ми обчислювали Uмех у (15.9), тому що в наші розрахунки входили лише механічні сили, що діють на провід.
Ви можете подумати: але сила, що діє на електрони, залежить від того, наскільки швидко рухається провід; можливо, якби провід рухався досить повільно, цією електричною енергією можна було б взагалі знехтувати. Справді, швидкість, з якою вивільняється електрична енергія, пропорційна швидкості провода, але все ж повна виділена енергія пропорційна ще й часу, протягом якого проявлялася ця швидкість. У підсумку повна виділена електрична енергія пропорційна добутку швидкості на час, а це якраз і є пройдена відстань. Кожній пройденій у полі відстані відповідає задана, причому та сама, кількість електричної роботи.
Візьмемо шматок провода одиничної довжини, по якому тече струм /. Провід рухається перпендикулярно самому собі й магнітному полю В зі швидкістю vпроводу. Завдяки наявності струму самі електрони мають швидкість дрейфу vдрейф уздовж провода. Компонента магнітної сили, що діє на кожен електрон у напрямку дрейфу, дорівнює qe vпроводу B. Отже, швидкість, з якою виконується електрична робота, дорівнює Fvдрейф = (qe vпроводу B) vдрейф. Якщо на одиниці довжини провода є N провідних електронів, то вся величина електричної роботи, що виконується за секунду, така:
Уявімо, що петля на фіг. 15.2 рухається в напрямку +х, а вісь z приймемо за напрямок В. Електрони провідності на стороні 2 відчуватимуть дію сили, що штовхає їх уздовж провода, у напрямку y. Але внаслідок їхнього руху по проводу тече електричний струм і є складова швидкості vy у тому самому напрямку, у якому діє сила. Тому над кожним електроном щосекунди виконуватиметься робота Fy vy , де vy — компонента швидкості електрона, напрямлена вздовж провода. Цю роботу, що виконується над електронами, ми назвемо електричною. Виявляється, що коли петля рухається в однорідному полі, то повна електрична робота дорівнює нулю, тому що на одній частині петлі робота додатна, а на іншій — рівна їй від'ємна. Але при русі контуру в неоднорідному полі це не так — тоді залишається якийсь чистий надлишок однієї роботи над іншою. Загалом ця робота прагне змінити потік електронів, але якщо він підтримується незмінним, то енергія поглинається або вивільняється в батарейці чи в іншому джерелі, яке зберігає струм постійним. Ось саме ця енергія і не враховувалася, коли ми обчислювали Uмех у (15.9), тому що в наші розрахунки входили лише механічні сили, що діють на провід.
Ви можете подумати: але сила, що діє на електрони, залежить від того, наскільки швидко рухається провід; можливо, якби провід рухався досить повільно, цією електричною енергією можна було б взагалі знехтувати. Справді, швидкість, з якою вивільняється електрична енергія, пропорційна швидкості провода, але все ж повна виділена енергія пропорційна ще й часу, протягом якого проявлялася ця швидкість. У підсумку повна виділена електрична енергія пропорційна добутку швидкості на час, а це якраз і є пройдена відстань. Кожній пройденій у полі відстані відповідає задана, причому та сама, кількість електричної роботи.
Візьмемо шматок провода одиничної довжини, по якому тече струм /. Провід рухається перпендикулярно самому собі й магнітному полю В зі швидкістю vпроводу. Завдяки наявності струму самі електрони мають швидкість дрейфу vдрейф уздовж провода. Компонента магнітної сили, що діє на кожен електрон у напрямку дрейфу, дорівнює qe vпроводу B. Отже, швидкість, з якою виконується електрична робота, дорівнює Fvдрейф = (qe vпроводу B) vдрейф. Якщо на одиниці довжини провода є N провідних електронів, то вся величина електричної роботи, що виконується за секунду, така:
Зображення
Але Nqevдрейф дорівнює струму / в проводі, так що
Зображення
І оскільки струм підтримується незмінним, то сили, що діють на електрони провідності, не прискорюють їх; електрична енергія переходить не до електронів, а до того джерела, яке зберігає силу струму постійною.
Але зауважте, що сила, яка діє на провід, дорівнює IB; отже, IВvпроводу — це механічна робота, що виконується над проводом за одиницю часу, dUмех /dt = IВvпроводу. Звідси ми робимо висновок, що механічна робота переміщення проводу в точності дорівнює електричній роботі, яка виконується над джерелом струму, так що енергія петлі залишається постійною!
Це не випадковість. Це наслідок закону, з яким ми вже знайомі. Повна сила, що діє на кожен із зарядів у проводі, дорівнює
Але зауважте, що сила, яка діє на провід, дорівнює IB; отже, IВvпроводу — це механічна робота, що виконується над проводом за одиницю часу, dUмех /dt = IВvпроводу. Звідси ми робимо висновок, що механічна робота переміщення проводу в точності дорівнює електричній роботі, яка виконується над джерелом струму, так що енергія петлі залишається постійною!
Це не випадковість. Це наслідок закону, з яким ми вже знайомі. Повна сила, що діє на кожен із зарядів у проводі, дорівнює
Зображення
Швидкість, з якою виконується робота, дорівнює
Зображення
Якщо електричного поля немає, то залишається тільки другий доданок, а він завжди дорівнює нулю. Пізніше ми побачимо, що зміна магнітних полів створює електричні поля, так що наші міркування застосовні лише до проводів у постійних магнітних полях.Але тоді чому ж принцип віртуальної роботи дає правильну відповідь? Тому, що поки що ми не враховували повну енергію Всесвіту. Ми не включали в розгляд енергію тих струмів, які створюють магнітне поле, з самого початку присутнє в наших міркуваннях.
Але уявімо собі повну систему, на кшталт зображеної на фіг. 15.3,а, де петля зі струмом / всувається в магнітне поле В1, створене струмом /2 у котушці. Струм I1, що тече по петлі, теж створюватиме якесь магнітне поле В2 поблизу котушки. Якщо петля рухається, то поле В2 змінюється. У наступному розділі ми побачимо, що магнітне поле, яке змінюється, створює поле Е, і це поле дійсно почне діяти на заряди в котушці. Цю енергію ми зобов'язані включити в наш зведений баланс енергій.
Ми, звісно, могли б зачекати говорити про цей новий внесок в енергію до наступного розділу, але вже зараз можна оцінити його, якщо застосувати міркування принципу відносності. Наближаємо петлю до нерухомої котушки і знаємо, що електрична енергія петлі в точності дорівнює і протилежна за знаком виробленій механічній роботі. Інакше кажучи,
Зображення
Тепер припустимо, що ми дивимося на те, що відбувається, з іншого погляду: вважатимемо, що петля спочиває, а котушка наближається до неї. Тоді котушка рухається в полі, створеному петлею. Ті самі міркування приведуть до виразу
Зображення
Механічна енергія в обох випадках одна й та сама — вона визначається тільки силою, що діє між двома контурами.
Додавання двох рівнянь дає
Додавання двох рівнянь дає
Зображення
Повна енергія всієї системи дорівнює, звісно, сумі двох електричних енергій і взятої один раз механічної енергії. У підсумку виходить
Зображення
Повна енергія всієї системи — це насправді Uмeх зі знаком мінус. Якщо нам потрібна, скажімо, повна енергія магнітного диполя, то слід писати
Зображення
І тільки тоді, коли ми зажадаємо, щоб усі струми залишалися постійними, можна використовувати лише одну з частин енергії Uмех (завжди рівну істинній енергії зі знаком мінус) для обчислення механічних сил. У більш загальних задачах треба дотримуватися обережності, щоб не забути жодної з енергій. Подібне становище спостерігалося і в електростатиці. Ми показали там, що енергія конденсатора дорівнює Q2/2C. Коли ми застосовуємо принцип віртуальної роботи, щоб знайти силу, що діє між обкладками конденсатора, то зміна енергії дорівнює Q2/2, помноженому на зміну в 1/С, тобто
Зображення
А тепер припустимо, що нам треба було б підрахувати роботу, витрачену на зближення двох провідників, але за іншої умови — що напруга між ними залишається постійною. Тоді правильну величину сили ми могли б отримати з принципу віртуальної роботи, якби вчинили трохи штучним чином. Раз Q = CV, то повна енергія дорівнює 1/2 СV2. Але якби ми ввели умовну енергію, рівну –1/2 СV2, то принцип віртуальної роботи можна було б застосувати для отримання сил, вважаючи зміну цієї умовної енергії рівною механічній роботі (це за умови, що напруга V вважається постійною). Тоді
Зображення
а це те саме, що написано в рівнянні (15.14). Ми отримуємо правильну відповідь, хоча нехтуємо роботою, яку електрична система витрачає на постійне підтримання напруги. І тут знову електрична енергія рівно вдвічі більша за механічну і має протилежний знак.
Отже, якщо ми ведемо розрахунок штучно, нехтуючи тим фактом, що джерело потенціалу повинне витрачати роботу на те, щоб напруга залишалася незмінною, то все одно ми приходимо до правильного результату. Це в точності відповідає стану справ у магнітостатиці.
Отже, якщо ми ведемо розрахунок штучно, нехтуючи тим фактом, що джерело потенціалу повинне витрачати роботу на те, щоб напруга залишалася незмінною, то все одно ми приходимо до правильного результату. Це в точності відповідає стану справ у магнітостатиці.