Наше дослідження статичних полів наближається до кінця. У цьому розділі ми небезпечно близько підійшли до такого пункту, коли вже слід подумувати про те, що станеться, якщо поля почнуть змінюватися з часом. Тлумачачи про магнітну енергію, нам ледь вдалося уникнути цього, та й то тому, що ми прикрилися релятивістськими міркуваннями. Навіть при цьому наше трактування проблеми енергії виглядало дещо штучно і, мабуть, навіть таємничо, тому що ми ігнорували той факт, що рухомі котушки повинні насправді створювати змінні поля. Тепер саме час перейти до вивчення полів, що змінюються в часі, до того, що становить предмет електродинаміки. Ми зробимо це в наступному розділі. Однак спершу слід підкреслити деякі моменти.
Хоча ми й почали цей курс з того, що подали повні й точні рівняння електромагнетизму, ми одразу ж узялися вивчати якісь вирізані шматки, тому що так було легше. Великою перевагою є можливість почати з простої теорії статичних полів і лише потім перейти до складнішої теорії, що включає динамічні поля. При цьому доводиться із самого початку вчити менше нового матеріалу, і залишається час потренувати мозок, розім'яти свої розумові м'язи, перш ніж приступити до складніших задач.
Але в такому процесі криється одна небезпека — поки ми не почули всю розповідь цілком, у нас може вкоренитися й видати себе за повну та неповна істина, яку ми встигли засвоїти; у голові все переплутається: те, що правильне завжди, і те, що справедливе тільки часом. Тому в табл. 15.1 ми даємо зведення найважливіших формул, яких ми торкалися, відокремлюючи в ньому ті, що правильні в загальному випадку, від тих, які дотримуються тільки в статиці, але хибні в динаміці. Це зведення містить натяки на те, куди ми, власне, з вами тримаємо шлях; вивчаючи динаміку, ми повинні будемо детально розвинути те, що поки доводилося описувати без доведення.
Мабуть, тут варто зробити кілька зауважень з приводу самої таблиці. Перш за все ви повинні звернути увагу, що рівняння, з яких ми почали, це правильні рівняння, у цьому місці ми вас не вводимо в оману. Формула для електромагнітної сили (яку часто називають силою Лоренца) F = q (E+v X В) також правильна. Помилковий тільки закон Кулона; він годиться тільки для статики. Чотири рівняння Максвелла для Е і В теж правильні. Рівняння, прийняті нами в статиці, помилкові, тому що ми викинули з них усі члени з похідними за часом.
Закон Гаусса ∇·Е = ρ/ε0 залишається, але ротор Е в загальному випадку не дорівнює нулю. Отже, Е не можна завжди прирівнювати до градієнта скаляра — електростатичного потенціалу. Ми побачимо, що скалярний потенціал усе ж залишається, але це вже величина, яка змінюється в часі й повинна вживатися для повного опису електричного поля тільки разом із векторним потенціалом. Звісно, рівняння, що керують цим новим скалярним потенціалом, також виявляються новими.
Ми змушені також розпрощатися з уявленням про те, що Е в провідниках дорівнює нулю. Коли поля змінюються, заряди в провідниках, взагалі кажучи, не встигають перебудовуватися так, щоб поле весь час оберталося на нуль. Вони приходять у рух, але ніколи не досягають рівноваги. Єдине загальне твердження таке: електричні поля створюють струми в провідниках. Отже, у змінних полях провідники не є еквіпотенціальними поверхнями. Звідси також випливає, що уявлення про ємність не можна зробити універсальним.
Раз магнітних зарядів не буває, дивергенція В завжди дорівнює нулю. Так що В можна завжди прирівнювати ∇ X А. (Виходить, що змінюється не все!) Але В генерується не тільки струмами; ∇ X В пропорційне густині струму плюс новий доданок ∂E/∂t. Це означає, що А пов'язане зі струмами новим рівнянням. Воно пов'язане й з φ. Якщо ми для власної зручності скористаємося свободою вибору ∇·А, то рівняння для А і φ можна буде записати так, що вони наберуть простого й вишуканого вигляду. Тому ми висуваємо вимогу, щоб c2∇ ·А дорівнювало –∂φ/∂t, і тоді диференціальні рівняння для А або для φ виявляються такими, як у таблиці.
Хоча ми й почали цей курс з того, що подали повні й точні рівняння електромагнетизму, ми одразу ж узялися вивчати якісь вирізані шматки, тому що так було легше. Великою перевагою є можливість почати з простої теорії статичних полів і лише потім перейти до складнішої теорії, що включає динамічні поля. При цьому доводиться із самого початку вчити менше нового матеріалу, і залишається час потренувати мозок, розім'яти свої розумові м'язи, перш ніж приступити до складніших задач.
Але в такому процесі криється одна небезпека — поки ми не почули всю розповідь цілком, у нас може вкоренитися й видати себе за повну та неповна істина, яку ми встигли засвоїти; у голові все переплутається: те, що правильне завжди, і те, що справедливе тільки часом. Тому в табл. 15.1 ми даємо зведення найважливіших формул, яких ми торкалися, відокремлюючи в ньому ті, що правильні в загальному випадку, від тих, які дотримуються тільки в статиці, але хибні в динаміці. Це зведення містить натяки на те, куди ми, власне, з вами тримаємо шлях; вивчаючи динаміку, ми повинні будемо детально розвинути те, що поки доводилося описувати без доведення.
Мабуть, тут варто зробити кілька зауважень з приводу самої таблиці. Перш за все ви повинні звернути увагу, що рівняння, з яких ми почали, це правильні рівняння, у цьому місці ми вас не вводимо в оману. Формула для електромагнітної сили (яку часто називають силою Лоренца) F = q (E+v X В) також правильна. Помилковий тільки закон Кулона; він годиться тільки для статики. Чотири рівняння Максвелла для Е і В теж правильні. Рівняння, прийняті нами в статиці, помилкові, тому що ми викинули з них усі члени з похідними за часом.
Закон Гаусса ∇·Е = ρ/ε0 залишається, але ротор Е в загальному випадку не дорівнює нулю. Отже, Е не можна завжди прирівнювати до градієнта скаляра — електростатичного потенціалу. Ми побачимо, що скалярний потенціал усе ж залишається, але це вже величина, яка змінюється в часі й повинна вживатися для повного опису електричного поля тільки разом із векторним потенціалом. Звісно, рівняння, що керують цим новим скалярним потенціалом, також виявляються новими.
Ми змушені також розпрощатися з уявленням про те, що Е в провідниках дорівнює нулю. Коли поля змінюються, заряди в провідниках, взагалі кажучи, не встигають перебудовуватися так, щоб поле весь час оберталося на нуль. Вони приходять у рух, але ніколи не досягають рівноваги. Єдине загальне твердження таке: електричні поля створюють струми в провідниках. Отже, у змінних полях провідники не є еквіпотенціальними поверхнями. Звідси також випливає, що уявлення про ємність не можна зробити універсальним.
Раз магнітних зарядів не буває, дивергенція В завжди дорівнює нулю. Так що В можна завжди прирівнювати ∇ X А. (Виходить, що змінюється не все!) Але В генерується не тільки струмами; ∇ X В пропорційне густині струму плюс новий доданок ∂E/∂t. Це означає, що А пов'язане зі струмами новим рівнянням. Воно пов'язане й з φ. Якщо ми для власної зручності скористаємося свободою вибору ∇·А, то рівняння для А і φ можна буде записати так, що вони наберуть простого й вишуканого вигляду. Тому ми висуваємо вимогу, щоб c2∇ ·А дорівнювало –∂φ/∂t, і тоді диференціальні рівняння для А або для φ виявляються такими, як у таблиці.
Зображення
Зображення
Потенціали А і φ усе ще можна виразити у вигляді інтегралів від струмів і зарядів, але це вже не ті самі інтеграли, що були в статиці. Найдивовижніше, однак, те, що правильний вигляд інтегралів схожий на попередній, статичний, але з однією невеликою видозміною, що має ясний фізичний сенс. Коли ми беремо інтеграли, щоб отримати потенціали в деякій точці, скажімо в точці (1) на фіг. 15.10, то ми зобов'язані використовувати значення j і ρ в точці (2) у більш ранній час t′ = t—r12/с. Як і слід було очікувати, вплив точки (2) на точку (1) поширюється зі швидкістю c. Ця невелика видозміна дозволяє відшукувати поля змінних струмів і зарядів, тому що, як тільки ми дізнаємося А і φ, то В отримується, як і раніше, як ∇ X А, а Е = –∇φ–∂A/∂t.Нарешті, ви бачите з таблиці, що деякі висновки, отримані в статиці (наприклад, висновок про те, що густина енергії в електричному полі дорівнює ε0Е2/2), залишаються справедливими і в електродинаміці. Не треба обманювати себе й думати, що все це природно. Правильність будь-якої формули, виведеної в статичному випадку, повинна в динаміці доводитися заново. Наприклад, ми знаємо, що об'ємний інтеграл від ρφ теж дає електростатичну енергію. Але це правильно тільки в статиці.
Свого часу ми детально розберемо всі ці питання; поки ж корисно тримати в умі це зведення, щоб знати, що не гріх і забути, а що слід вважати справедливим завжди.