Знаючи, що Uповн = —Uмех, використаємо цей факт, щоб знайти істинну енергію постійних струмів у магнітних полях. Почати можна з істинної енергії невеликої струмової петельки. Позначаючи Uповн просто через U, напишемо
Зображення
Хоча цю енергію ми підрахували тільки для плоскої прямокутної петлі, усе це справедливе й для плоскої петельки довільної форми.Енергію контуру довільної форми можна знайти, уявивши, що він складається з невеликих струмових петель. Скажімо, є провід у формі петлі Г (фіг. 15.4). Натягнемо на цю петлю поверхню S, а на ній намітимо безліч петельок, кожну з яких можна вважати плоскою. Якщо змусити струм / циркулювати по кожній петельці, то в підсумку вийде те саме, як якби струм ішов тільки по петлі Г, бо струми на всіх внутрішніх лініях взаємно знищаться. Система невеликих струмів фізично не відрізнятиметься від вихідного контуру, і енергія має бути тією самою, тобто має дорівнювати сумі енергій усіх петельок.
Якщо площа кожної петельки Δа, то її енергія дорівнює /ΔaBn, де Вn — компонента B, нормальна до Δа. Повна енергія дорівнює
Зображення
У границі, коли петлі стають нескінченно малими, сума перетворюється на інтеграл, і
Зображення
де n — одинична нормаль до da.
Якщо ми покладемо В = ∇xA, то поверхневий інтеграл можна буде пов'язати з контурним (за теоремою Стокса):
Якщо ми покладемо В = ∇xA, то поверхневий інтеграл можна буде пов'язати з контурним (за теоремою Стокса):
Зображення
де ds — лінійний елемент уздовж Г. Отже, ми отримали енергію контуру довільної форми:
Зображення
У цьому виразі А позначає, звісно, векторний потенціал, що виникає через струми (відмінні від струму / в проводі), які створюють поле В поблизу проводу.
Далі, будь-який розподіл постійних струмів можна вважати таким, що складається з ниток, які йдуть уздовж тих ліній, по яких тече струм. Для будь-якої пари таких контурів енергія дається виразом (15.19), де інтеграл взятий навколо одного з контурів, а векторний потенціал А створений іншим контуром. Повна енергія виходить додаванням усіх таких пар. Якщо замість того, щоб стежити за парами, ми повністю просумуємо по всіх нитках, то кожну енергію ми зарахуємо двічі (такий самий ефект ми спостерігали в електростатиці), і повну енергію можна буде подати у вигляді
Далі, будь-який розподіл постійних струмів можна вважати таким, що складається з ниток, які йдуть уздовж тих ліній, по яких тече струм. Для будь-якої пари таких контурів енергія дається виразом (15.19), де інтеграл взятий навколо одного з контурів, а векторний потенціал А створений іншим контуром. Повна енергія виходить додаванням усіх таких пар. Якщо замість того, щоб стежити за парами, ми повністю просумуємо по всіх нитках, то кожну енергію ми зарахуємо двічі (такий самий ефект ми спостерігали в електростатиці), і повну енергію можна буде подати у вигляді
Зображення
Це відповідає отриманому для електростатичної енергії виразу
Зображення
Отже, ми можемо вважати А, якщо завгодно, своєрідною потенціальною енергією струмів у магнітостатиці. На жаль, це уявлення не дуже корисне, тому що воно годиться тільки для статичних полів. У дійсності, якщо поля з часом змінюються, ні вираз (15.20), ні вираз (15.21) не дають правильної величини енергії.