Коли ми від класичної механіки переходимо до квантової, то наші уявлення про важливість тих чи інших понять багато в чому змінюються. (Дещо з цих понять ми вже розглядали раніше.) Зокрема, поступово сходить нанівець поняття сили, а поняття енергії та імпульсу набувають першорядної важливості. Замість руху частинок, як ви пам'ятаєте, мова тепер іде вже про амплітуди ймовірностей, які змінюються в просторі й часі. У ці амплітуди входять довжини хвиль, пов'язані з імпульсами, і частоти, пов'язувані з енергіями. Імпульси та енергії визначають собою фази хвильових функцій, і саме з цієї причини вони важливі для квантової механіки. Замість сили мова тепер іде про те, яким чином взаємодія змінює довжину хвилі. Уявлення про силу стає вже другорядним, якщо про нього взагалі ще варто говорити. Навіть коли, наприклад, згадують про ядерні сили, то насправді, як правило, працюють усе ж з енергіями взаємодії двох нуклонів, а не із силою їхньої взаємодії. Нікому не спадає на думку диференціювати енергію, щоб подивитися, якою є сила. У цьому параграфі ми хочемо розповісти, як виникають у квантовій механіці векторний і скалярний потенціали. Виявляється, що саме через те, що в квантовій механіці головну роль відіграють імпульс і енергія, найпряміший шлях введення в квантовий опис електромагнітних ефектів — зробити це за допомогою А і φ.
Треба спершу трохи нагадати, як діє квантова механіка. Ми знову повернемося до описаного у вип. 3, розд. 37, уявного досліду, у якому електрони зазнавали дифракції на двох щілинах. На фіг. 15.5 показано той самий пристрій. Електрони (усі вони мають приблизно однакову енергію) залишають джерело й рухаються до стінки з двома вузькими щілинами. За стінкою міститься «захисний» вал — поглинач із рухомим детектором. Цей детектор призначений для вимірювання частоти /, з якою електрони потрапляють у невелику ділянку поглинача на відстані x від осі симетрії. Ця частота пропорційна ймовірності того, що окремий електрон, який вилетів із джерела, досягне цієї ділянки «валу». Імовірність має розподіл складного вигляду (він показаний на рисунку), який пояснюється інтерференцією двох амплітуд, по одній від кожної щілини. Інтерференція двох амплітуд залежить від їхньої різниці фаз. Іншими словами, коли амплітуди дорівнюють С1еiф1 і С2еiф2, різниця фаз δ=Ф1—Ф2 визначає інтерференційну картину [див. вип. 3, розд. 29, рівняння (29.12)]. Якщо відстань від щілин до екрана дорівнює L, а різниця довжин шляхів електронів, що проходять через дві щілини, дорівнює a (як показано на фігурі), то різниця фаз двох хвиль дається відношенням
Треба спершу трохи нагадати, як діє квантова механіка. Ми знову повернемося до описаного у вип. 3, розд. 37, уявного досліду, у якому електрони зазнавали дифракції на двох щілинах. На фіг. 15.5 показано той самий пристрій. Електрони (усі вони мають приблизно однакову енергію) залишають джерело й рухаються до стінки з двома вузькими щілинами. За стінкою міститься «захисний» вал — поглинач із рухомим детектором. Цей детектор призначений для вимірювання частоти /, з якою електрони потрапляють у невелику ділянку поглинача на відстані x від осі симетрії. Ця частота пропорційна ймовірності того, що окремий електрон, який вилетів із джерела, досягне цієї ділянки «валу». Імовірність має розподіл складного вигляду (він показаний на рисунку), який пояснюється інтерференцією двох амплітуд, по одній від кожної щілини. Інтерференція двох амплітуд залежить від їхньої різниці фаз. Іншими словами, коли амплітуди дорівнюють С1еiф1 і С2еiф2, різниця фаз δ=Ф1—Ф2 визначає інтерференційну картину [див. вип. 3, розд. 29, рівняння (29.12)]. Якщо відстань від щілин до екрана дорівнює L, а різниця довжин шляхів електронів, що проходять через дві щілини, дорівнює a (як показано на фігурі), то різниця фаз двох хвиль дається відношенням
Зображення
Як зазвичай, ми покладаємо λ = λ/2π, де λ — довжина хвилі, що відповідає просторовій зміні амплітуди ймовірності. Для простоти розглянемо лише ті значення x, які набагато менші за L; тоді можна буде прийняти
Зображення
Коли x дорівнює нулю, то й δ дорівнює нулю; хвилі перебувають у фазі, а ймовірність має максимум. Коли δ дорівнює π, хвилі опиняються в протифазі, інтерферуючи деструктивно, і ймовірність досягає мінімуму. Так електронна інтенсивність набуває хвилеподібного вигляду.
Тепер ми хочемо сформулювати той закон, яким у квантовій механіці замінюється закон сили F = qv X В. Цей закон визначатиме собою поведінку квантовомеханічних частинок в електромагнітному полі. Раз усе, що відбувається, визначається амплітудами, то закон повинен буде пояснити, як позначається на амплітудах вплив магнітного поля; з прискореннями ж частинок ми більше жодної справи мати не будемо. Цей закон полягає в такому: фазу, з якою амплітуда досягає детектора, рухаючись по якійсь траєкторії, присутність магнітного поля змінює на величину, рівну інтегралу від векторного потенціалу вздовж цієї траєкторії, помноженому на відношення заряду частинки до сталої Планка. Тобто
Тепер ми хочемо сформулювати той закон, яким у квантовій механіці замінюється закон сили F = qv X В. Цей закон визначатиме собою поведінку квантовомеханічних частинок в електромагнітному полі. Раз усе, що відбувається, визначається амплітудами, то закон повинен буде пояснити, як позначається на амплітудах вплив магнітного поля; з прискореннями ж частинок ми більше жодної справи мати не будемо. Цей закон полягає в такому: фазу, з якою амплітуда досягає детектора, рухаючись по якійсь траєкторії, присутність магнітного поля змінює на величину, рівну інтегралу від векторного потенціалу вздовж цієї траєкторії, помноженому на відношення заряду частинки до сталої Планка. Тобто
Зображення
Якби магнітного поля не було, то спостерігалася б якась певна фаза прибуття. Якщо ж десь з'являється магнітне поле, то фаза прибуття зростає на величину інтеграла в (15.29).
Хоча для наших теперішніх міркувань у цьому немає потреби, зауважимо все ж, що вплив електростатичного поля теж виражається в зміні фази, рівній інтегралу за часом від скалярного потенціалу φ зі знаком мінус:
Хоча для наших теперішніх міркувань у цьому немає потреби, зауважимо все ж, що вплив електростатичного поля теж виражається в зміні фази, рівній інтегралу за часом від скалярного потенціалу φ зі знаком мінус:
Зображення
Ці два вирази справедливі лише для статичних полів, але, об'єднавши їх, ми отримаємо правильний результат для будь-якого, статичного чи динамічного, електромагнітного поля. Саме цей закон і заміняє собою формулу F= q (E + v X В). Ми зараз, однак, будемо говорити тільки про статичне магнітне поле.
Покладемо, що дослід із двома щілинами проводиться в магнітному полі. Ми хочемо дізнатися, з якою фазою досягають екрана дві хвилі, шляхи яких пролягають через дві різні щілини. Їхня інтерференція визначає те місце, де опиниться максимум імовірності. Фазу хвилі, що біжить по траєкторії (1), ми назвемо Ф1, а через ф1 (В = 0) позначимо фазу, коли магнітного поля немає. Тоді після ввімкнення поля фаза досягає величини
Покладемо, що дослід із двома щілинами проводиться в магнітному полі. Ми хочемо дізнатися, з якою фазою досягають екрана дві хвилі, шляхи яких пролягають через дві різні щілини. Їхня інтерференція визначає те місце, де опиниться максимум імовірності. Фазу хвилі, що біжить по траєкторії (1), ми назвемо Ф1, а через ф1 (В = 0) позначимо фазу, коли магнітного поля немає. Тоді після ввімкнення поля фаза досягає величини
Зображення
Аналогічно, фаза для траєкторії (2) дорівнює
Зображення
Інтерференція хвиль у детекторі залежить від різниці фаз
Зображення
Різницю фаз за відсутності поля ми позначимо δ (В = 0); це та сама різниця, яку ми підрахували в рівнянні (15.28). Крім того, ми помічаємо, що з двох інтегралів можна зробити один, що йде вперед по шляху (1), а назад — по шляху (2); цей замкнутий шлях позначатиметься (1—2). Так що виходить
Зображення
Це рівняння повідомляє нам, як під дією магнітного поля змінюється рух електрона; за його допомогою ми можемо знайти нові положення максимумів і мінімумів інтенсивності.
Перш ніж зробити це, ми хочемо, однак, поставити одне цікаве й важливе питання. Ви пам'ятаєте, що у вектор-потенціальній функції є певна довільність. Дві різні вектор-потенціальні функції А і А′, що відрізняються на градієнт ∇ψ якоїсь скалярної функції, являють собою те саме магнітне поле (тому що ротор градієнта дорівнює нулю). Вони тому приводять до тієї самої класичної сили qv х В. Якщо в квантовій механіці всі ефекти залежать від векторного потенціалу, то яка з багатьох можливих А-функцій правильна?
Відповідь полягає в тому, що в квантовій механіці продовжує існувати та сама довільність в А. Якщо в рівнянні (15.33) ми замінимо А на А′ = А + ∇ψ, то інтеграл від А перетвориться на
Перш ніж зробити це, ми хочемо, однак, поставити одне цікаве й важливе питання. Ви пам'ятаєте, що у вектор-потенціальній функції є певна довільність. Дві різні вектор-потенціальні функції А і А′, що відрізняються на градієнт ∇ψ якоїсь скалярної функції, являють собою те саме магнітне поле (тому що ротор градієнта дорівнює нулю). Вони тому приводять до тієї самої класичної сили qv х В. Якщо в квантовій механіці всі ефекти залежать від векторного потенціалу, то яка з багатьох можливих А-функцій правильна?
Відповідь полягає в тому, що в квантовій механіці продовжує існувати та сама довільність в А. Якщо в рівнянні (15.33) ми замінимо А на А′ = А + ∇ψ, то інтеграл від А перетвориться на
Зображення
Інтеграл від ∇ψ обчислюється по замкнутому шляху (1—2); але інтеграл від дотичної складової градієнта по замкнутому шляху завжди дорівнює нулю (за теоремою Стокса). Тому як А, так і А′ приводять до одних і тих самих різниць фаз і до одних і тих самих квантовомеханічних ефектів інтерференції. І в класичній, і в квантовій теорії важливий тільки ротор А; будь-яка функція А, у якої ротор такий, як треба, приводить до правильної теорії.
Той самий висновок стає очевидним, якщо ми використаємо результати, наведені в розд. 14, § 1. Там ми показали, що контурний інтеграл від А по замкнутому шляху дорівнює потоку В через контур, у цьому випадку потоку між шляхами (1) і (2). Рівняння (15.33) можна, якщо ми хочемо, записати у вигляді
Той самий висновок стає очевидним, якщо ми використаємо результати, наведені в розд. 14, § 1. Там ми показали, що контурний інтеграл від А по замкнутому шляху дорівнює потоку В через контур, у цьому випадку потоку між шляхами (1) і (2). Рівняння (15.33) можна, якщо ми хочемо, записати у вигляді
Зображення
де під потоком В, як зазвичай, мається на увазі поверхневий інтеграл від нормальної складової В. Результат залежить тільки від В, тобто тільки від ротора А.
Але раз результат можна виражати і через В, і через А, то може скластися враження, що В утримує свої позиції «реального» поля, а А все ще виглядає штучним утворенням. Але визначення «реального» поля, яке ми на початку запропонували, ґрунтувалося на ідеї про те, що «реальне» поле не змогло б діяти на частинку на відстані. Ми ж беремося навести приклад, у якому В дорівнює нулю (або принаймні скільки завгодно малому числу) у будь-якому місці, де частинки можуть опинитися, так що неможливо уявити собі, що В безпосередньо діє на них.
Ви пам'ятаєте, що якщо є довгий соленоїд, по якому тече електричний струм, то поле В існує всередині нього, а зовні поля немає, тоді як безліч векторів А циркулює зовні соленоїда (фіг. 15.6). Якщо ми створимо такі умови, що електрони проходитимуть тільки поза соленоїдом (тільки там, де є А), то, згідно з рівнянням (15.33), соленоїд усе ж впливатиме на їхній рух. За класичними ж поглядами це неможливо. За класичними уявленнями сила залежить тільки від В. Щоб дізнатися, чи тече по соленоїду струм, частинка повинна пройти крізь нього. А квантова механіка стверджує, що наявність магнітного поля в соленоїді можна встановити, просто обійшовши його, навіть не наближаючись до нього впритул!
Уявіть, що ми помістили дуже довгий соленоїд малого діаметра прямо тут же за стінкою між двома щілинами (фіг. 15.7). Діаметр соленоїда повинен бути набагато меншим за відстань d між щілинами. За цих обставин дифракція електронів на щілині не призведе до помітних імовірностей того, що електрони прослизнуть десь поблизу соленоїда. Як же все це вплине на наш інтерференційний експеримент?
Порівняємо два випадки: коли струм по соленоїду йде і коли струму немає. Якщо струму немає, то немає ні В, ні А, і виходить первісна картина електронних інтенсивностей уздовж поглинача. Якщо ми ввімкнемо струм і створимо всередині соленоїда магнітне поле В, то зовні з'явиться поле А. Виникне зсув у різниці фаз, пропорційний циркуляції А поза соленоїдом, а це означає, що картина максимумів і мінімумів зсунеться на інше місце. Дійсно, раз потік В між будь-якими двома шляхами постійний, то точно так само постійна й циркуляція А. Для будь-якої точки прибуття фаза змінюється однаково; це відповідає тому, що вся картина зсувається по x на постійну величину, скажімо, на х0. Цю величину х0 легко підрахувати. Максимальна інтенсивність виникає там, де різниця фаз двох хвиль дорівнює нулю. Підставляючи замість δ вираз (15.32) або (15.33), а замість δ(B=0) вираз (15.28), отримуємо
Але раз результат можна виражати і через В, і через А, то може скластися враження, що В утримує свої позиції «реального» поля, а А все ще виглядає штучним утворенням. Але визначення «реального» поля, яке ми на початку запропонували, ґрунтувалося на ідеї про те, що «реальне» поле не змогло б діяти на частинку на відстані. Ми ж беремося навести приклад, у якому В дорівнює нулю (або принаймні скільки завгодно малому числу) у будь-якому місці, де частинки можуть опинитися, так що неможливо уявити собі, що В безпосередньо діє на них.
Ви пам'ятаєте, що якщо є довгий соленоїд, по якому тече електричний струм, то поле В існує всередині нього, а зовні поля немає, тоді як безліч векторів А циркулює зовні соленоїда (фіг. 15.6). Якщо ми створимо такі умови, що електрони проходитимуть тільки поза соленоїдом (тільки там, де є А), то, згідно з рівнянням (15.33), соленоїд усе ж впливатиме на їхній рух. За класичними ж поглядами це неможливо. За класичними уявленнями сила залежить тільки від В. Щоб дізнатися, чи тече по соленоїду струм, частинка повинна пройти крізь нього. А квантова механіка стверджує, що наявність магнітного поля в соленоїді можна встановити, просто обійшовши його, навіть не наближаючись до нього впритул!Уявіть, що ми помістили дуже довгий соленоїд малого діаметра прямо тут же за стінкою між двома щілинами (фіг. 15.7). Діаметр соленоїда повинен бути набагато меншим за відстань d між щілинами. За цих обставин дифракція електронів на щілині не призведе до помітних імовірностей того, що електрони прослизнуть десь поблизу соленоїда. Як же все це вплине на наш інтерференційний експеримент?Порівняємо два випадки: коли струм по соленоїду йде і коли струму немає. Якщо струму немає, то немає ні В, ні А, і виходить первісна картина електронних інтенсивностей уздовж поглинача. Якщо ми ввімкнемо струм і створимо всередині соленоїда магнітне поле В, то зовні з'явиться поле А. Виникне зсув у різниці фаз, пропорційний циркуляції А поза соленоїдом, а це означає, що картина максимумів і мінімумів зсунеться на інше місце. Дійсно, раз потік В між будь-якими двома шляхами постійний, то точно так само постійна й циркуляція А. Для будь-якої точки прибуття фаза змінюється однаково; це відповідає тому, що вся картина зсувається по x на постійну величину, скажімо, на х0. Цю величину х0 легко підрахувати. Максимальна інтенсивність виникає там, де різниця фаз двох хвиль дорівнює нулю. Підставляючи замість δ вираз (15.32) або (15.33), а замість δ(B=0) вираз (15.28), отримуємо
Зображення
Картина за наявності соленоїда виглядатиме так, як показано на фіг. 15.7. Принаймні так передбачає квантова механіка.
Нещодавно було проведено точно такий самий дослід. Це надзвичайно складний дослід. Довжина хвилі електронів вкрай мала, тому прилад повинен бути мініатюрним, інакше інтерференції не помітиш. Щілини повинні лежати впритул одна до одної, а це означає, що потрібен незвичайно тонкий соленоїд. Виявляється, що за деяких обставин кристали заліза виростають у вигляді дуже довгих і мікроскопічно тонких ниток. Якщо ці залізні нитки намагнітити, вони утворюють маленький соленоїд, у якого немає зовні магнітного поля (воно проявляється тільки на кінцях). Так от, було проведено дослід з інтерференції електронів із залізною ниткою, поміщеною між двома щілинами, і передбачене зміщення електронної картини підтвердилося.
А тоді поле А в нашому сенсі вже «реальне». Ви можете заперечити: «Але ж там є магнітне поле». Так, є, але згадайте нашу вихідну ідею — «реальне» тільки таке поле, яке, щоб визначити собою рух частинки, повинне бути задане в тому місці, де вона перебуває. Поле В у нитці діє на відстані. Якщо ми не хочемо, щоб його вплив виглядав як дія на відстані, ми повинні користуватися векторним потенціалом.
Ця проблема має цікаву історію. Теорія, яку ми виклали, була відома з самого виникнення квантової механіки, з 1926 р. Сам факт, що векторний потенціал з'являється в хвильовому рівнянні квантової механіки (так званому рівнянні Шредінгера), був очевидний з того моменту, як воно було написане. У тому, що він не може бути замінений магнітним полем, переконувалися всі, хто намагався це зробити; один за одним усі переконувалися, що простого шляху для цього не існує. Це ясно й з нашого прикладу, коли електрон рухається по області, де немає жодного поля, і тим не менш зазнає впливу. Але, оскільки в класичній механіці А, вочевидь, не мало безпосереднього, важливого значення і, далі, через те, що його можна було змінювати додаванням градієнта, люди знову й знову повторювали, що векторний потенціал не має прямого фізичного сенсу, що навіть у квантовій механіці «правами» володіють тільки електричні й магнітні поля. Коли озираєшся назад, здається дивним, що ніхто не подумав обговорити цей дослід аж до 1956 р., коли Бом і Ааронов уперше запропонували його й зробили все питання кристально ясним. Усе це ж завжди малося на увазі, але ніхто не звертав на це уваги. І багато хто був просто вражений, коли зринуло це питання. Ось із цієї-то причини дехто й визнав за потрібне поставити дослід і переконатися, що все це дійсно так, хоча квантова механіка, в яку всі ми віримо вже стільки років, давала цілком однозначну відповідь. Цікаво, що подібні речі можуть тридцять років бути на видноті в усіх, але через певні упередження щодо того, що суттєве, а що ні, можуть усіма ігноруватися.
Зараз ми хочемо трохи продовжити наш аналіз. Ми продемонструємо зв'язок між квантовомеханічною і класичною формулами, щоб показати, чому виявляється, що при макроскопічному погляді на речі все виглядає так, ніби частинки керуються силою, рівною добутку qv на ротор А. Щоб отримати класичну механіку з квантової, нам треба розглянути випадки, коли всі довжини хвиль малі порівняно з відстанями, на яких помітно змінюються зовнішні умови (наприклад, поля). Ми не будемо гнатися за загальністю доведення, а тільки покажемо все на дуже простому прикладі. Звернемося знову до того самого досліду зі щілинами. Але тепер замість того, щоб втискати все магнітне поле у вузький проміжок між щілинами, уявімо собі таке магнітне поле, яке розкинулося позаду щілин широкою смугою (фіг. 15.8). Візьмемо ідеалізований випадок, коли у вузькій смузі шириною w, набагато меншій за L, магнітне поле однорідне. (Це легко влаштувати, треба тільки далі віднести поглинач.) Щоб підрахувати зсув по фазі, ми повинні взяти два інтеграли від А вздовж двох траєкторій (1) і (2). Як ми бачили, вони відрізняються просто на потік В між цими шляхами. У нашому наближенні потік дорівнює Bwd. Різниця фаз для двох шляхів тому дорівнює
Нещодавно було проведено точно такий самий дослід. Це надзвичайно складний дослід. Довжина хвилі електронів вкрай мала, тому прилад повинен бути мініатюрним, інакше інтерференції не помітиш. Щілини повинні лежати впритул одна до одної, а це означає, що потрібен незвичайно тонкий соленоїд. Виявляється, що за деяких обставин кристали заліза виростають у вигляді дуже довгих і мікроскопічно тонких ниток. Якщо ці залізні нитки намагнітити, вони утворюють маленький соленоїд, у якого немає зовні магнітного поля (воно проявляється тільки на кінцях). Так от, було проведено дослід з інтерференції електронів із залізною ниткою, поміщеною між двома щілинами, і передбачене зміщення електронної картини підтвердилося.
А тоді поле А в нашому сенсі вже «реальне». Ви можете заперечити: «Але ж там є магнітне поле». Так, є, але згадайте нашу вихідну ідею — «реальне» тільки таке поле, яке, щоб визначити собою рух частинки, повинне бути задане в тому місці, де вона перебуває. Поле В у нитці діє на відстані. Якщо ми не хочемо, щоб його вплив виглядав як дія на відстані, ми повинні користуватися векторним потенціалом.
Ця проблема має цікаву історію. Теорія, яку ми виклали, була відома з самого виникнення квантової механіки, з 1926 р. Сам факт, що векторний потенціал з'являється в хвильовому рівнянні квантової механіки (так званому рівнянні Шредінгера), був очевидний з того моменту, як воно було написане. У тому, що він не може бути замінений магнітним полем, переконувалися всі, хто намагався це зробити; один за одним усі переконувалися, що простого шляху для цього не існує. Це ясно й з нашого прикладу, коли електрон рухається по області, де немає жодного поля, і тим не менш зазнає впливу. Але, оскільки в класичній механіці А, вочевидь, не мало безпосереднього, важливого значення і, далі, через те, що його можна було змінювати додаванням градієнта, люди знову й знову повторювали, що векторний потенціал не має прямого фізичного сенсу, що навіть у квантовій механіці «правами» володіють тільки електричні й магнітні поля. Коли озираєшся назад, здається дивним, що ніхто не подумав обговорити цей дослід аж до 1956 р., коли Бом і Ааронов уперше запропонували його й зробили все питання кристально ясним. Усе це ж завжди малося на увазі, але ніхто не звертав на це уваги. І багато хто був просто вражений, коли зринуло це питання. Ось із цієї-то причини дехто й визнав за потрібне поставити дослід і переконатися, що все це дійсно так, хоча квантова механіка, в яку всі ми віримо вже стільки років, давала цілком однозначну відповідь. Цікаво, що подібні речі можуть тридцять років бути на видноті в усіх, але через певні упередження щодо того, що суттєве, а що ні, можуть усіма ігноруватися.
Зараз ми хочемо трохи продовжити наш аналіз. Ми продемонструємо зв'язок між квантовомеханічною і класичною формулами, щоб показати, чому виявляється, що при макроскопічному погляді на речі все виглядає так, ніби частинки керуються силою, рівною добутку qv на ротор А. Щоб отримати класичну механіку з квантової, нам треба розглянути випадки, коли всі довжини хвиль малі порівняно з відстанями, на яких помітно змінюються зовнішні умови (наприклад, поля). Ми не будемо гнатися за загальністю доведення, а тільки покажемо все на дуже простому прикладі. Звернемося знову до того самого досліду зі щілинами. Але тепер замість того, щоб втискати все магнітне поле у вузький проміжок між щілинами, уявімо собі таке магнітне поле, яке розкинулося позаду щілин широкою смугою (фіг. 15.8). Візьмемо ідеалізований випадок, коли у вузькій смузі шириною w, набагато меншій за L, магнітне поле однорідне. (Це легко влаштувати, треба тільки далі віднести поглинач.) Щоб підрахувати зсув по фазі, ми повинні взяти два інтеграли від А вздовж двох траєкторій (1) і (2). Як ми бачили, вони відрізняються просто на потік В між цими шляхами. У нашому наближенні потік дорівнює Bwd. Різниця фаз для двох шляхів тому дорівнюєЗображення
Ми помічаємо, що в прийнятому наближенні зсув фаз не залежить від кута. Так що знову-таки ефект зводиться до зсуву всієї картини вгору на величину Δx. З формули (15.28)
Зображення
Підставляючи δ—δ (В = 0) із (15.37), отримуємо
Зображення
Такий зсув рівноцінний тому, що всі траєкторії відхиляються на невеликий кут α (див. фіг. 15.8), рівний
Зображення
За класичними поглядами ми теж повинні були очікувати, що вузька смужка магнітного поля відхилить усі траєкторії на якийсь маленький кут, скажімо α′ (фіг. 15.9,а). Коли електрони проходять через магнітне поле, вони зазнають дії поперечної сили qv X В протягом часу w/v. Зміна їхнього поперечного імпульсу просто дорівнює йому самому, так щоЗображення
Кутове відхилення (фіг. 15.9,б) дорівнює відношенню цього поперечного імпульсу до повного імпульсу p. Ми отримуємоЗображення
Цей результат можна порівняти з рівнянням (15.39), у якому та сама величина обчислювалася квантово-механічно. Але зв'язок між класичною і квантовою механікою в тому й полягає, що частинці з імпульсом p ставиться у відповідність квантова амплітуда, що змінюється як хвиля довжиною λ = h/p. Відповідно до цього рівняння α і α′ виявляються ідентичними; і класичні, і квантові викладки приводять до того самого.
З цього аналізу ми бачимо, як виходить, що векторний потенціал, який у квантовій механіці з'являється в явному вигляді, викликає класичну силу, що залежить тільки від його похідних. У квантовій механіці істотна тільки інтерференція між сусідніми шляхами; у ній завжди виявляється, що ефект залежить тільки від того, як сильно поле А змінюється від точки до точки, а отже, тільки від похідних А, а не від нього самого. Незважаючи на це, векторний потенціал А (поряд із супровідним йому скалярним потенціалом φ), вочевидь, приводить до більш прямого опису фізичних процесів. Чим глибше ми проникаємо в квантову теорію, тим ясніше й прозоріше нам це стає. У загальній теорії — квантовій електродинаміці — у системі рівнянь, що заміняють собою рівняння Максвелла, векторні й скалярні потенціали вже вважаються фундаментальними величинами. Вектори Е і В поступово зникають із сучасного запису фізичних законів: їх витісняють А і φ.
З цього аналізу ми бачимо, як виходить, що векторний потенціал, який у квантовій механіці з'являється в явному вигляді, викликає класичну силу, що залежить тільки від його похідних. У квантовій механіці істотна тільки інтерференція між сусідніми шляхами; у ній завжди виявляється, що ефект залежить тільки від того, як сильно поле А змінюється від точки до точки, а отже, тільки від похідних А, а не від нього самого. Незважаючи на це, векторний потенціал А (поряд із супровідним йому скалярним потенціалом φ), вочевидь, приводить до більш прямого опису фізичних процесів. Чим глибше ми проникаємо в квантову теорію, тим ясніше й прозоріше нам це стає. У загальній теорії — квантовій електродинаміці — у системі рівнянь, що заміняють собою рівняння Максвелла, векторні й скалярні потенціали вже вважаються фундаментальними величинами. Вектори Е і В поступово зникають із сучасного запису фізичних законів: їх витісняють А і φ.