Рівняння електростатичного потенціалу

У цьому розділі ми розповімо про поведінку електричного поля за тих чи інших обставин. Ви ознайомитеся з тим, як поводиться електричне поле, і з деякими математичними методами, що застосовуються для визначення поля.

Зауважимо для початку, що математично все завдання полягає в розв'язанні двох рівнянь — максвеллівських рівнянь електростатики:                                                                               

Фактично обидва ці рівняння можна об'єднати в одне. З другого рівняння одразу ж випливає, що поле можна вважати градієнтом якогось скаляра (див. розд. 3, § 7):       

Електричне поле кожного окремого виду можна, якщо потрібно, повністю описати за допомогою потенціалу поля φ. Диференціальне рівняння, якому повинне задовольняти φ, вийде, якщо (6.3) підставити в (6.1):             

Дивергенція градієнта φ — це те саме, що ∇², яке діє на φ:

так що рівняння (6.4) ми запишемо у вигляді

Оператор ∇² називається лапласіаном, а рівняння (6.6) — рівнянням Пуассона. Весь предмет електростатики з математичного погляду полягає просто у вивченні розв'язків одного-єдиного рівняння (6.6). Як тільки з (6.6) ви знайдете φ, поле Е негайно отримується з (6.3).

Звернімося спершу до особливого класу задач, у яких ρ задано як функцію х, у, z. Така задача майже тривіальна, тому що розв'язувати рівняння (6.6) у загальному випадку ми вже вміємо. Ми ж показали, що якщо ρ в кожній точці відоме, то потенціал у точці (1) дорівнює   

де ρ(2) — густина заряду, dV₂ — елемент об'єму в точці (2), а r₁₂ — відстань між точками (1) і (2). Розв'язання диференціального рівняння (6.6) звелося до інтегрування по простору. Розв'язання (6.7) варто відзначити особливо, тому що у фізиці часто трапляються ситуації, що приводять до рівнянь, які мають такий вигляд:

і (6.7) є прототипом розв'язання будь-якої такої задачі.

Задача розрахунку електростатичного поля, таким чином, розв'язується цілком чесно, якщо тільки положення всіх зарядів відомі. Погляньмо на кількох прикладах, як діє ця формула.