Ми хотіли б тепер відзначити цікаву властивість формули диполя (6.13). Потенціал можна записати також у вигляді
Зображення
Справді, обчисливши градієнт 1/r, ви отримаєте
Зображення
і (6.16) збіжиться з (6.13).
Як ми здогадалися про це? Ми просто пригадали, що er /r2 уже з'являлося у формулі для поля точкового заряду і що поле — це градієнт потенціалу, що змінюється як 1/r.
Існує й фізична причина того, що дипольний потенціал може бути записаний у формі (6.16). Нехай у початок координат поміщено точковий заряд q. Потенціал у точці P(х, у, z) дорівнює
Як ми здогадалися про це? Ми просто пригадали, що er /r2 уже з'являлося у формулі для поля точкового заряду і що поле — це градієнт потенціалу, що змінюється як 1/r.
Існує й фізична причина того, що дипольний потенціал може бути записаний у формі (6.16). Нехай у початок координат поміщено точковий заряд q. Потенціал у точці P(х, у, z) дорівнює
Зображення
(Множник 1/4πε0 опустимо, а наприкінці ми його можемо знову вставити.) Якщо заряд +q ми зсунемо на відстань Δz, то потенціал у точці Р трохи зміниться, скажімо на Δφ+. На скільки ж саме? Якраз на стільки, на скільки змінився б потенціал, якби заряд залишили в спокої, а P змістили на стільки ж униз (фіг. 6.5). Іншими словами,Зображення
де Δz означає те саме, що й d/2. Беручи φ0= q/r, ми отримуємо для потенціалу додатного заряду
Зображення
Повторюючи ті самі міркування з потенціалом від'ємного заряду, можна написати
Зображення
А загальний потенціал — просто сума (6.17) і (6.18):
Зображення
За інших розташувань диполя зміщення додатного заряду можна зобразити вектором Δr+, а рівняння (6.17) подати у вигляді
Зображення
де Δr згодом треба буде замінити на d/2. Завершуючи доведення так, як це було зроблено вище, ми приведемо рівняння (6.19) до вигляду
Зображення
Це те саме рівняння, що й (6.16). Треба тільки замінити qd на р і вставити загублений дорогою множник 1/4πε0. Поглянувши на це рівняння інакше, бачимо, що дипольний потенціал (6.13) можна тлумачити як
Зображення
де Ф0=1/4πε0r — потенціал одиничного точкового заряду.
Хоча потенціал даного розподілу зарядів завжди можна знайти за допомогою інтегрування, іноді можна заощадити час, застосувавши якийсь хитромудрий прийом. Наприклад, на допомогу часто приходить принцип накладання. Якщо нам дано розподіл зарядів, який можна скласти з двох розподілів із уже відомими потенціалами, то шуканий потенціал легко отримати, просто склавши вже відомі між собою. Наше виведення формули (6.20) — один із прикладів застосування цього прийому.
А ось і інший. Нехай є сферична поверхня, на якій поверхневий заряд розподілений пропорційно косинусу полярного кута. Інтегрувати такий розподіл — задача, відверто кажучи, не з приємних. Але як не дивно, на допомогу приходить принцип накладання. Уявіть собі кулю з однорідною об'ємною густиною додатних зарядів і другу кулю з такою самою однорідною об'ємною густиною зарядів, але протилежного знака. Спочатку вони вкладені одна в одну, утворюючи нейтральну, тобто незаряджену кулю. Якщо потім додатну кулю трохи змістити відносно від'ємної, то нутро незарядженої кулі так і залишиться незарядженим, але на одному боці виникне невеликий додатний заряд, а на протилежному — такий самий від'ємний (фіг. 6.6). І якщо відносне зміщення двох куль мале, то ці заряди еквівалентні існуванню поверхневого заряду (на сферичній поверхні) з густиною, пропорційною косинусу полярного кута.
Коли ж нам знадобиться потенціал цього розподілу, то брати інтеграли не потрібно. Ми знаємо, що потенціал кожної зарядженої кулі — у точках поза нею — збігається з потенціалом точкового заряду. А дві зміщені кулі — це все одно, що два точкові заряди; отже, шуканий потенціал і є якраз потенціалом диполя.
У такий спосіб можна показати, що розподіл зарядів на сфері радіуса a з поверхневою густиною
Хоча потенціал даного розподілу зарядів завжди можна знайти за допомогою інтегрування, іноді можна заощадити час, застосувавши якийсь хитромудрий прийом. Наприклад, на допомогу часто приходить принцип накладання. Якщо нам дано розподіл зарядів, який можна скласти з двох розподілів із уже відомими потенціалами, то шуканий потенціал легко отримати, просто склавши вже відомі між собою. Наше виведення формули (6.20) — один із прикладів застосування цього прийому.
А ось і інший. Нехай є сферична поверхня, на якій поверхневий заряд розподілений пропорційно косинусу полярного кута. Інтегрувати такий розподіл — задача, відверто кажучи, не з приємних. Але як не дивно, на допомогу приходить принцип накладання. Уявіть собі кулю з однорідною об'ємною густиною додатних зарядів і другу кулю з такою самою однорідною об'ємною густиною зарядів, але протилежного знака. Спочатку вони вкладені одна в одну, утворюючи нейтральну, тобто незаряджену кулю. Якщо потім додатну кулю трохи змістити відносно від'ємної, то нутро незарядженої кулі так і залишиться незарядженим, але на одному боці виникне невеликий додатний заряд, а на протилежному — такий самий від'ємний (фіг. 6.6). І якщо відносне зміщення двох куль мале, то ці заряди еквівалентні існуванню поверхневого заряду (на сферичній поверхні) з густиною, пропорційною косинусу полярного кута.Коли ж нам знадобиться потенціал цього розподілу, то брати інтеграли не потрібно. Ми знаємо, що потенціал кожної зарядженої кулі — у точках поза нею — збігається з потенціалом точкового заряду. А дві зміщені кулі — це все одно, що два точкові заряди; отже, шуканий потенціал і є якраз потенціалом диполя.
У такий спосіб можна показати, що розподіл зарядів на сфері радіуса a з поверхневою густиною
Зображення
таке саме поле, як і диполь з моментом
Зображення
Можна також показати, що всередині сфери поле стале і дорівнює
Зображення
Якщо θ — кут з додатною віссю z, то електричне поле всередині сфери спрямоване по від'ємній осі z. Розглянутий нами приклад аж ніяк не пусті вигадки укладача задач; він нам ще трапиться в теорії діелектриків.