Зауваження про векторні рівняння

Тут, мабуть, доречно зробити загальне зауваження, що стосується векторного аналізу. Хоча його теореми й доведені в загальному вигляді, однак, приступаючи до розрахунків і аналізу якоїсь задачі, слід розважливо обирати напрямок осей координат. Пригадайте, що коли ми обчислювали потенціал диполя, то вісь обиралася не як попало, а ми спрямували її вздовж осі диполя. Це значно полегшило нашу задачу. Потім уже рівняння були переписані у векторній формі й одразу перестали залежати від вибору системи координат. Тепер стало можливим обирати яку завгодно систему координат, знаючи, що формула відтепер завжди буде справедливою. Взагалі немає сенсу вводити довільну систему координат, де осі спрямовані під якимось складним кутом, якщо можна в цій задачі обрати систему кращу, а вже наприкінці виразити результат у вигляді векторного рівняння. Тож намагайтеся використовувати ту перевагу векторних рівнянь, що вони не залежать ні від якої системи координат.

З іншого боку, якщо ви хочете підрахувати дивергенцію якогось вектора, то замість того, щоб дивитися на ∇·Е і згадувати, що це таке, краще розписати це у вигляді 

Якщо ви потім обчислите окремо х-, у- і z-компоненти електричного поля й продиференціюєте, то отримаєте шукану дивергенцію. Часто при цьому виникає таке відчуття, ніби сталося щось негарне — наче, розписавши вектор покомпонентно, зазнали невдачі; увесь час здається, ніби всі дії треба виконувати тільки з векторними операторами ∇. Але часто від них немає жодної користі. Коли ви вперше стикаєтеся з якоюсь новою задачею, то, як правило, корисно розписати все в компонентах, щоб пересвідчитися, що ви правильно уявляєте собі, що відбувається. Немає нічого негарного в тому, що в рівняння підставляються числа, і немає нічого непристойного в тому, щоб підставляти похідні на місце вигадливих символів. Навпаки, саме в цьому й виявляється ваша мудрість. Звісно, у спеціальному журналі стаття виглядатиме набагато приємніше (та й зрозуміліше), якщо все записано у векторному вигляді. Але там треба економити ще й місце.