А зараз ми зробимо надзвичайно цікаву й дотепну річ — одну з тих, що так прикрашають математику. Доведення того, що grad T, або ∇T, є вектором, не залежить від того, яке скалярне поле ми диференціюємо. Усі доводи залишилися б чинними, якби T було замінено будь-яким скалярним полем. А оскільки рівняння перетворень однакові незалежно від того, що диференціюється, то можна T прибрати й рівняння (2.26) замінити операторним рівнянням
Зображення
Як висловився Джинс, ми залишаємо оператори «спраглими продиференціювати що завгодно».
Оскільки самі диференціальні оператори перетворюються як компоненти векторного поля, то можна назвати їх компонентами векторного оператора. Можна написати
Оскільки самі диференціальні оператори перетворюються як компоненти векторного поля, то можна назвати їх компонентами векторного оператора. Можна написати
Зображення
це означає, звісно,
Зображення
Ми абстрагували градієнт від T — у цьому й полягає дотепність.
Звісно, ви повинні весь час пам'ятати, що v — це оператор. Сам по собі він нічого не означає. А якщо v сам по собі нічого не означає, то що вийде, якщо ми градієнт помножимо на скаляр, наприклад на T, щоб отримати добуток Tv? (Адже вектор завжди можна помножити на скаляр.) Це знову нічого не означає. Компонента x цього виразу дорівнює
Звісно, ви повинні весь час пам'ятати, що v — це оператор. Сам по собі він нічого не означає. А якщо v сам по собі нічого не означає, то що вийде, якщо ми градієнт помножимо на скаляр, наприклад на T, щоб отримати добуток Tv? (Адже вектор завжди можна помножити на скаляр.) Це знову нічого не означає. Компонента x цього виразу дорівнює
Зображення
а це не число, а все ще якийсь оператор. Однак відповідно до алгебри векторів Tv як і раніше можна називати вектором.
А зараз помножимо v на скаляр з другого боку. Отримаємо добуток ∇T. У звичайній алгебрі
А зараз помножимо v на скаляр з другого боку. Отримаємо добуток ∇T. У звичайній алгебрі
Зображення
але потрібно пам'ятати, що операторна алгебра трохи відрізняється від звичайної векторної. Треба завжди дотримуватися правильного порядку операторів, щоб їхні операції мали сенс. Тоді у вас не виникне труднощів, якщо ви пригадаєте, що оператор v підпорядковується тим самим умовам, що й похідні. Те, що ви диференціюєте, має бути поставлене праворуч від v. Порядок тут суттєвий.
Якщо пам'ятати про порядок, то одразу зрозуміло, що Tv — це оператор, а добуток ∇T — це вже не «спраглий» оператор, його спрагу вгамовано. Це фізична величина, що має сенс. Він являє собою швидкість просторової зміни T: x -компонента ∇T показує, наскільки швидко T змінюється в x -напрямку. А куди спрямований вектор ∇T? Ми знаємо, що швидкість зміни T у якомусь напрямку — це компонента ∇T у цьому напрямку [див. (2.15)]. Звідси випливає, що напрямок ∇T — це той, уздовж якого ∇T має найдовшу проекцію; іншими словами, той, уздовж якого ∇T змінюється найшвидше. Напрямок градієнта T — це напрямок найшвидшого підйому величини T.
Якщо пам'ятати про порядок, то одразу зрозуміло, що Tv — це оператор, а добуток ∇T — це вже не «спраглий» оператор, його спрагу вгамовано. Це фізична величина, що має сенс. Він являє собою швидкість просторової зміни T: x -компонента ∇T показує, наскільки швидко T змінюється в x -напрямку. А куди спрямований вектор ∇T? Ми знаємо, що швидкість зміни T у якомусь напрямку — це компонента ∇T у цьому напрямку [див. (2.15)]. Звідси випливає, що напрямок ∇T — це той, уздовж якого ∇T має найдовшу проекцію; іншими словами, той, уздовж якого ∇T змінюється найшвидше. Напрямок градієнта T — це напрямок найшвидшого підйому величини T.