Диференціальне рівняння потоку тепла

Наведемо інший приклад векторного запису фізичного закону. Цей закон не з точних, але в багатьох металах та інших матеріалах, що проводять тепло, він проявляється цілком чітко. Відомо, що якщо взяти плиту з якогось матеріалу й нагріти один її бік до температури Т₂, а інший охолодити до Т₁, то тепло потече від Т₂ до Т₁ (фіг. 2.7, а). Потік тепла пропорційний площі торців A і різниці температур. Крім того, він обернено пропорційний відстані між торцями. (Для заданої різниці температур чим тонша плита, тим потужніший потік тепла.) Позначаючи через J теплову енергію, що проходить крізь плиту за одиницю часу, ми напишемо

Коефіцієнт пропорційності x (каппа) називається теплопровідністю.
 
Що станеться у складніших випадках, скажімо, у блоці матеріалу незвичайної форми, у якому температура якось примхливо змінюється? Розглянемо тонкий шар матеріалу і уявимо собі плиту на кшталт зображеної на фіг. 2.7, а, але в мініатюрі. Зорієнтуємо її торці паралельно ізотермічним поверхням (фіг. 2.7, б), так що для цієї малої плити виконується рівняння (2.42).
 
Якщо площа цієї плити ΔA, то потік тепла за одиницю часу дорівнює

де Δs — товщина плити. Але ΔJ/ΔA ми раніше визначили як абсолютну величину h — вектора, спрямованого туди, куди тече тепло. Тепло тече від Т₁ + ΔТ до T₁, так що вектор h перпендикулярний ізотермам (фіг. 2.7, б). Далі, ΔT/Δs якраз дорівнює швидкості зміни T зі зміною положення. А оскільки зміни положення перпендикулярні ізотермам, то наше ΔT/Δs — це максимальна швидкість зміни. Вона дорівнює тому величині ∇T. І, нарешті, раз напрямки ∇T і h протилежні, то (2.43) можна записати у вигляді векторного рівняння

(Знак мінус написано тому, що тепло тече в бік зниження температури.) Рівняння (2.44) — це диференціальне рівняння теплопровідності в масиві речовини. Ви бачите, що це суто векторне рівняння. З обох боків стоять вектори (якщо х число). Це узагальнення на довільний випадок часткового співвідношення (2.42), правильного для прямокутної плити.
 
Ми з вами повинні будемо навчитися виписувати всі співвідношення елементарної фізики [на кшталт (2.42)] у цих хитромудрих векторних позначеннях. Вони корисні не лише тому, що рівняння від цього починають виглядати простіше. У них набагато ясніше проступає фізичний зміст рівнянь безвідносно до вибору системи координат.