Другі похідні векторних полів

Поки що ми мали справу лише з першими похідними. А чому б не з другими? З других похідних можна скласти кілька комбінацій:

Ви можете переконатися, що жодних інших комбінацій бути не може.
 
Подивимося спершу на другу комбінацію (б). Вона має ту саму форму, що й

тому що А Х А завжди нуль. Отже,

Можна зрозуміти, як це виходить, якщо розписати одну з компонент:

що дорівнює нулю [за рівнянням (2.8)]. Це ж правильно і для інших компонент. Отже, ∇Х(∇Т)=0 для будь-якого розподілу температур, та й для будь-якої скалярної функції.
 
Візьмемо другий приклад. Подивимося, чи не можна отримати нуль іншим шляхом. Скалярний добуток вектора на векторний добуток, що містить цей вектор, дорівнює нулю

тому що Ах В перпендикулярний до А і тим самим не має складових уздовж А. Подібна комбінація стоїть у списку  (2.45) під номером (г):

У справедливості цієї рівності знову-таки легко переконатися, провівши викладки на компонентах.
 
Тепер сформулюємо без доведення дві теореми. Вони дуже цікаві й вельми корисні для фізиків.
 
У фізичних задачах часто виявляється, що ротор якоїсь величини (скажімо, векторного поля А) дорівнює нулю. Ми бачили в рівнянні (2.46), що ротор градієнта дорівнює нулю. (Це легко запам'ятати за властивостями векторів.) Далі, може виявитися, що А буде градієнтом якоїсь величини, тому що тоді ротор А неодмінно обернеться на нуль. Є цікава теорема, яка стверджує, що якщо ротор А є нуль, то тоді А неодмінно виявиться чиїмось градієнтом; існує деяке скалярне поле ψ (псі), таке, що A=grad ψ. Іншими словами, справедлива

Подібна теорема формулюється і для випадку, коли дивергенція А є нуль. З рівняння (2.49) видно, що дивергенція ротора будь-якої величини завжди дорівнює нулю. Якщо вам випадково зустрілося векторне поле D, для якого div D — нуль, то ви маєте право зробити висновок, що D — це ротор якогось векторного поля С.

Перебираючи всі можливі сполучення двох операторів v, ми виявили, що два з них завжди дають нуль. Займемося тепер тими, які не дорівнюють нулю. Візьмемо комбінацію ∇·(∇Т), першу в нашому списку. У загальному випадку це не нуль. Випишемо компоненти

Далі,

що може, взагалі кажучи, бути будь-яким числом. Це скалярне поле.
 
Ви бачите, що дужок можна не ставити, а замість цього писати, не ризикуючи помилитися:

Раз оператор лапласіана — оператор скалярний, він може діяти й на вектор. Під цим ми маємо на увазі, що він застосовується до кожної компоненти вектора

Розглянемо ще одну можливість: ∇X(∇Xh) [(д) у списку (2.45)]. Ротор від ротора можна написати інакше, якщо використати векторну рівність (2.6)

Замінимо в цій формулі А і В оператором v і покладемо C=h. Отримаємо

Стривайте-но! Тут щось не так. Як і належить, перші два члени — вектори (оператори вгамували свою спрагу), але останній член зовсім не такий. Він все ще оператор. Помилка в тому, що ми не були обережні й не дотримали потрібного порядку членів. Повернувшись назад, ви побачите, що (2.55) можна з рівним успіхом записати у вигляді

Такий порядок членів виглядає вже краще. Зробимо нашу підстановку в (2.56). Отримаємо

З цією формулою вже все гаразд. Вона дійсно правильна, у чому ви можете переконатися, розписавши компоненти. Останній член — це лапласіан, так що з рівним успіхом можна написати

З нашого списку (2.45) подвійних v ми розібрали всі комбінації, крім (в), ∇(∇·h). У ній є сенс, це — векторне поле, але більше сказати про неї нічого. Це просто векторне поле, яке може випадково виникнути в якомусь розрахунку.
 
Зручно буде всі наші міркування звести тепер у таблицю:

Ви могли помітити, що ми не намагалися винайти новий векторний оператор ∇Хv. Розумієте, чому?
Можна розглядати ∇² як новий оператор. Це скалярний оператор. Оскільки він у фізиці трапляється часто, йому дали особливе ім'я — лапласіан.