Вторые производные векторных полей

Пока мы имели дело только с первыми производными. А почему не со вторыми? Из вторых производных можно составить несколько комбинаций:

Вы можете убедиться, что никаких иных комбинаций быть не может.
 
Посмотрим сперва на вторую комбинацию (б). Она имеет ту же форму, что и

потому что А Х А всегда нуль. Значит,

Можно понять, как это получается, если расписать одну из компонент:

что равно нулю [по уравнению (2.8)]. Это же верно и для других компонент. Стало быть, ∇Х(∇Т)=0 для любого распределения температур, да и для всякой скалярной функции.
 
Возьмем второй пример. Посмотрим, нельзя ли получить нуль другим путем. Скалярное произведение вектора на векторное произведение, содержащее этот вектор, равно нулю

потому что Ах В перпендикулярно к А и не имеет тем самым составляющих вдоль А. Сходная комбинация стоит в списке  (2.45) под номером (г):

В справедливости этого равенства опять-таки легко убедиться, проделав выкладки на компонентах.
 
Теперь сформулируем без доказательства две теоремы. Они очень интересны и весьма полезны для физиков.
 
В физических задачах часто оказывается, что ротор какой-то величины (скажем, векторного поля А) равен нулю. Мы видели в уравнении (2.46), что ротор градиента равен нулю. (Это легко запоминается по свойствам векторов.) Далее, может оказаться, что А будет градиентом какой-то величины, потому что тогда ротор А с необходимостью обратится в нуль. Имеется интересная теорема, утверждающая, что если ротор А есть нуль, то тогда А непременно окажется чьим-то градиентом; существует некоторое скалярное поле ψ (пси), такое, что A=grad ψ. Иными словами, справедлива

Сходная теорема формулируется и для случая, когда дивергенция А есть нуль. Из уравнения (2.49) видно, что дивергенция ротора любой величины равна всегда нулю. Если вам случайно встретилось векторное поле D, для которого div D — нуль, то вы имеете право заключить, что D это ротор некоторого векторного поля С.

Перебирая всевозможные сочетания двух операторов v, мы обнаружили, что два из них всегда дают нуль. Займемся теперь теми, которые не равны нулю. Возьмем комбинацию ∇·(∇Т), первую в нашем списке. В общем случае это не нуль. Выпишем компоненты

Далее,

что может, вообще говоря, быть любым числом. Это скалярное поле.
 
Вы видите, что скобок можно не ставить, а вместо этого писать, не рискуя ошибиться:

Раз оператор лапласиана — оператор скалярный, он может действовать и на вектор. Под этим мы подразумеваем, что он применяется к каждой компоненте вектора

Рассмотрим еще одну возможность: ∇X(∇Xh) [(д) в списке (2.45)]. Ротор от ротора можно написать иначе, если использовать векторное равенство (2.6)

Заменим в этой формуле А и В оператором v и положим C=h. Получится

Погодите-ка! Здесь что-то не так. Как и положено, первые два члена — векторы (операторы утолили свою жажду), но последний член совсем не такой. Он все еще оператор. Ошибка в том, что мы не были осторожны и не выдержали нужного порядка членов. Вернувшись обратно, вы увидите, что (2.55) можно с равным успехом записать в виде

Такой порядок членов выглядит уже лучше. Сделаем нашу подстановку в (2.56). Получится

С этой формулой уже все в порядке. Она действительно правильна, в чем вы можете убедиться, расписав компоненты. Последний член — это лапласиан, так что с равным успехом можно написать

Из нашего списка (2.45) двойных v мы разобрали все комбинации, кроме (в), ∇(∇·h). В ней есть смысл, это — векторное поле, но больше сказать о ней нечего. Это просто векторное поле, которое может случайно возникнуть в каком-нибудь расчете.
 
Удобно будет все наши рассуждения свести теперь в таблицу:

Вы могли заметить, что мы не пытались изобрести новый векторный оператор ∇Хv. Понимаете, почему?
Можно рассматривать ∇² как новый оператор. Это скалярный оператор. Так как он в физике встречается часто, ему дали особое имя — лапласиан.