Операция с ∇

Можно ли с векторным оператором v производить другие алгебраические действия? Попробуем скомбинировать его с вектором. Из двух векторов можно составить скалярное произведение, причем двоякого рода:

Первое выражение пока что ничего не означает — это все еще оператор. Окончательный смысл его зависит от того, на что он будет действовать. А второе произведение — это некое скалярное поле (потому что А·В — всегда скаляр).
 
Попробуем составить скалярное произведение v на известное поле, скажем на h. Распишем покомпонентно

Эта сумма инвариантна относительно преобразования координат. Если выбрать другую систему (отмеченную штрихами), то получилось бы

а это — то же самое число, которое получилось бы и из (2.33), хотя с виду оно выглядит иначе, т. е.

в любой точке пространства. Итак, ∇·h — это скалярное поле, и оно должно представить собой некоторую физическую величину. Вы должны понимать, что комбинация производных в ∇·h имеет довольно специальный вид. Могут быть и другие комбинации всяческого вида, скажем дh_y /дх, которые не являются ни скалярами, ни компонентами векторов.
 
Скалярная величина ∇·(Вектор) очень широко применяется в физике. Ей присвоили имя «дивергенция», или «расходимость». Например,

Можно было бы, как и для ∇Т, описать физический смысл ∇·h. Но мы отложим это до лучших времен.
 
Посмотрим сначала, что еще можно испечь из векторного оператора ∇. Как насчет векторного произведения? Можно надеяться, что

Компоненты этого вектора можно написать, пользуясь обычным правилом для векторного произведения [см. (2.2)]:

Подобно этому,

Комбинацию ∇ x h называют «ротор» (пишут rot h), или (редко) «вихрь h» (пишут curl h). Происхождение этого названия и физический смысл комбинации мы обсудим позже.
 
В итоге мы получили три сорта комбинаций, куда входит v:

Используя эти комбинации, можно пространственные вариации полей записывать в удобном виде, т. е. в виде, не зависящем от той или иной совокупности осей координат.
 
В качестве примера применения нашего векторного дифференциального оператора v выпишем совокупность векторных уравнений, в которой содержатся те самые законы электромагнетизма, которые мы словесно высказали в гл. 1. Их называют уравнениями Максвелла.

где ρ (po) — «плотность электрического заряда» (количество заряда в единице объема), a j — «плотность электрического тока» (скорость протекания заряда сквозь единицу площади). Эти четыре уравнения содержат в себе законченную классическую теорию электромагнитного поля. Видите, какой элегантной и простой записи мы добились с помощью наших новых обозначений!