Чи можна з векторним оператором v виконувати інші алгебраїчні дії? Спробуємо скомбінувати його з вектором. З двох векторів можна скласти скалярний добуток, причому двоякого роду:
Зображення
Перший вираз поки що нічого не означає — це все ще оператор. Остаточний його сенс залежить від того, на що він діятиме. А другий добуток — це якесь скалярне поле (тому що А·В — завжди скаляр).
Спробуємо скласти скалярний добуток v на відоме поле, скажімо на h. Розпишемо покомпонентно
Спробуємо скласти скалярний добуток v на відоме поле, скажімо на h. Розпишемо покомпонентно
Зображення
Ця сума інваріантна відносно перетворення координат. Якщо обрати іншу систему (позначену штрихами), то вийшло б
Зображення
а це — те саме число, яке вийшло б і з (2.33), хоча на вигляд воно виглядає інакше, тобто
Зображення
у будь-якій точці простору. Отже, ∇·h — це скалярне поле, і воно має являти собою якусь фізичну величину. Ви повинні розуміти, що комбінація похідних у ∇·h має досить специфічний вигляд. Можуть бути й інші комбінації всілякого вигляду, скажімо дhy /дх, які не є ні скалярами, ні компонентами векторів.
Скалярна величина ∇·(Вектор) дуже широко застосовується у фізиці. Їй дали ім'я «дивергенція», або «розбіжність». Наприклад,
Скалярна величина ∇·(Вектор) дуже широко застосовується у фізиці. Їй дали ім'я «дивергенція», або «розбіжність». Наприклад,
Зображення
Можна було б, як і для ∇Т, описати фізичний сенс ∇·h. Але ми відкладемо це до кращих часів.
Подивимося спочатку, що ще можна спекти з векторного оператора ∇. А як щодо векторного добутку? Можна сподіватися, що
Подивимося спочатку, що ще можна спекти з векторного оператора ∇. А як щодо векторного добутку? Можна сподіватися, що
Зображення
Компоненти цього вектора можна написати, користуючись звичайним правилом для векторного добутку [див. (2.2)]:
Зображення
Подібно до цього,
Зображення
Комбінацію ∇ x h називають «ротор» (пишуть rot h), або (рідко) «вихор h» (пишуть curl h). Походження цієї назви й фізичний сенс комбінації ми обговоримо пізніше.
Підсумовуючи, ми отримали три сорти комбінацій, куди входить v:
Підсумовуючи, ми отримали три сорти комбінацій, куди входить v:
Зображення
Використовуючи ці комбінації, можна просторові варіації полів записувати у зручному вигляді, тобто у вигляді, що не залежить від тієї чи іншої сукупності осей координат.
Як приклад застосування нашого векторного диференціального оператора v випишемо сукупність векторних рівнянь, у якій містяться ті самі закони електромагнетизму, які ми словесно висловили в розд. 1. Їх називають рівняннями Максвелла.
Як приклад застосування нашого векторного диференціального оператора v випишемо сукупність векторних рівнянь, у якій містяться ті самі закони електромагнетизму, які ми словесно висловили в розд. 1. Їх називають рівняннями Максвелла.
Зображення
де ρ (ро) — «густина електричного заряду» (кількість заряду в одиниці об'єму), a j — «густина електричного струму» (швидкість протікання заряду крізь одиницю площі). Ці чотири рівняння містять у собі завершену класичну теорію електромагнітного поля. Бачите, якого елегантного й простого запису ми досягли за допомогою наших нових позначень!