Двовимірні поля; функції комплексної змінної

Комплексна величина з визначається так:

(Не сплутайте з із координатою z; координата z надалі не зустрінеться, бо залежності полів від z не буде.) Тоді кожній точці на площині (x, y) відповідає комплексне число з. Ми можемо вважати з особливою (комплексною) змінною величиною і за її допомогою записувати звичайні математичні функції  F(з).   Наприклад,

тощо.
 
Якщо дано якусь визначену функцію F(з), то можна підставити з=x + iy; вийде функція від x і y з дійсною та уявною частинами. Наприклад,

Будь-яку функцію F (з) можна записати у вигляді суми чисто дійсної і чисто уявної частин, і кожна з частин буде функцією від x і y:

де U(x, y) і V(x, y) — дійсні функції. Отже, з будь-якої комплексної функції F(з) можна утворити дві нові функції U (x, y) і V(x, y). Наприклад, F(з)=з² дає дві функції:

Ми підійшли зараз до дивовижної математичної теореми, настільки прекрасної, що її доведення доведеться відкласти до відповідного математичного курсу. (Якщо ми почнемо заздалегідь прочиняти всі таємниці математики, вона здасться вам потім нудною.) Ця теорема полягає ось у чому. Для будь-якої «нормальної» функції функції U і V автоматично задовольняють співвідношенням

Звідси негайно випливає, що кожна з функцій U і V задовольняє рівнянню Лапласа:

Одразу видно, що для функцій (7.5) і (7.6) ці рівняння виконуються.
 
Отже, завжди, відштовхнувшись від якої завгодно звичайної функції, можна прийти до двох функцій U ( x, y) і V (x, y), які обидві є розв'язками двовимірного рівняння Лапласа. Кожна функція являє собою якийсь електростатичний потенціал. Будь-яка обрана нами функція F(з) зобов'язана забезпечити нас розв'язком якоїсь задачі з електростатики, точніше навіть двох задач, тому що розв'язком є як U, так і V. Так можна виписати скільки завгодно розв'язків: просто напридумувати безліч функцій, і залишиться тільки знайти задачі з такими розв'язками. Такий підхід до задач цілком допустимий, хоч він і виконується задом наперед.
 
Для прикладу подивимося, до якої фізичної задачі приведе нас функція F(з) = з². З неї ми отримуємо дві потенціальні функції (7.5) і (7.6). Щоб побачити, яку задачу розв'язує функція U, ми знайдемо еквіпотенціальні поверхні, поклавши U рівним сталому числу A:

Це рівняння прямокутної гіперболи. Перебираючи різні значення A, ми отримуємо сім'ю гіпербол, накреслену на фіг. 7.1. Коли A=0, гіперболи вироджуються в пару діагоналей, що проходять через початок.
Така сім'я еквіпотенціальних поверхонь трапляється в кількох фізичних задачах. В одній із них вона зображує деталі структури поля біля точки між двома однаковими точковими зарядами. В іншій вона зображує поле всередині прямого кута, утвореного двома провідними площинами. Якщо є два електроди, вигнуті так, як показано на фіг. 7.2, і що мають різні потенціали, то поле всередині кута C виглядатиме точнісінько так само,  як поле біля початку координат на фіг. 7.1. Суцільні лінії — це еквіпотенціальні поверхні, а лінії штрихові, що їх перетинають, — це лінії поля Е. Поблизу вістря чи виступу електричне поле зростає, а біля западини чи отвору воно слабшає.
Знайдений нами розв'язок відповідає також гіперболічному електроду, поміщеному біля прямого кута, або двом гіперболам при відповідних потенціалах. Зауважте, що поле фіг. 7.1 має цікаву властивість. Складова x електричного поля Е дається виразом

тобто електричне поле пропорційне відстані від осі координат. Цей факт був використаний, щоб створити пристрій (званий квадрупольною лінзою), потрібний для фокусування пучків частинок (див. вип. 6, розд. 29, § 9). Фокусувальне поле зазвичай отримують за допомогою чотирьох гіперболічних електродів, зображених на фіг. 7.3. Проводячи тут лінії електричного поля, ми просто перекреслили з фіг. 7.1 сім'ю штрихових кривих V=const. Ці лінії дісталися нам зовсім безплатно! Криві V=const перпендикулярні до кривих U=const, як це випливає з рівнянь (7.7) і (7.8). Щойно ми обираємо функцію F(з), то отримуємо з U і V відразу ж еквіпотенціальні лінії та лінії поля. Ми вже давно знаємо, що можна розв'язати на вибір будь-яку з двох задач, залежно від того, яку сім'ю кривих ми приймемо за еквіпотенціальну.
 
Іншим прикладом стане функція

Якщо ми напишемо

звідки випливає

Криві U (x, y) =A і V(x, y)=В, де U і V узяті з рівняння (7.12), проведені на фіг. 7.4. І тут теж можна назвати чимало випадків, які описуються цими полями.

Один із найцікавіших — це поле біля краю тонкої пластинки. Якщо лінія B=0 праворуч від осі y зображує тонку заряджену пластину, то лінії поля  поблизу неї даються кривими з різними A. Фізична  картина показана на фіг. 7.5.
 
Подальші приклади — це функція

яка дає нам поле зовні прямого кута, функція

яка дає поле зарядженої нитки, і функція

яка зображує поле двовимірного аналога електричного диполя, тобто двох паралельних прямих, заряджених протилежним знаком і поміщених впритул одна до одної.
 
Більше цим питанням у нашому курсі ми займатися не будемо; ми повинні лише підкреслити, що, хоча техніка комплексних змінних часто виявляється дуже потужною, вона все ж обмежена тільки двовимірними задачами; до того ж це все-таки непрямий метод.