Радиационное затухание

Заряд, закрепленный на пружине с собственной частотой ω₀ (или электрон в атоме), даже в абсолютно пустом пространстве не сможет колебаться бесконечно долго, поскольку, колеблясь, он теряет энергию на излучение. Никаких сил сопротивления в обычном смысле этого слова, никакой вязкости здесь нет. Но колебания не будут происходить «вечно», вследствие излучения они будут медленно замирать. А насколько медленно? Определим для осциллятора величину Q, вызванную так называемым радиационным сопротивлением или радиационным затуханием. Для любой колеблющейся системы величина Q равна энергии системы в данный момент времени, деленной на потери энергии, отнесенные к 1 рад:

Запишем Q по-другому, пользуясь для этого равенством  dW/dφ = (dW/dt)/(dφ/dt) = –(dW/dt)/ω :

Если Q задано, то легко получить закон спадания энергии колебаний: dW/dt = (— ω/Q)W, откуда следует W =W₀e^–ωt/Q; здесь W0 — начальная энергия (при t = 0). Чтобы найти Q для излучающего осциллятора, вернемся к формуле (32.8) и подставим вместо dW/dt выражение (32.6). А что нужно взять в качестве энергии W осциллятора? Кинетическая энергия осциллятора равна 1/2mν²: , а средняя кинетическая энергия равна mω²х₀²/4. Но мы помним, что полная энергия осциллятора равна средней кинетической плюс средняя потенциальная, причем обе они для осциллятора равны; поэтому полная энергия равна

Какую частоту следует подставить в наши формулы? Мы возьмем собственную частоту ω₀, потому что практически это и есть частота излучения атома, а вместо m подставим m_e. После ряда сокращений эта формула приводится к виду

(Для большей ясности и из соображений близости к исторически принятой форме мы ввели величину е² =q_e²/4πε₀ и записали 2π/λ вместо ω₀/с.) Поскольку величина Q безразмерна, множитель е²/m_eс², зависящий только от массы и заряда электрона и выражающий его внутренние свойства, обязан иметь размерность длины. Он был назван классическим радиусом электрона, потому что в старых моделях электрона радиационное сопротивление пытались объяснить действием одной части электрона на другие его части, для чего размеры электрона приходилось выбирать порядка е²/m_eс². Но эта величина потеряла свой прежний смысл, и никто теперь не считает, что электрон имеет такой радиус. Численное значение классического радиуса электрона следующее:

Вычислим теперь значение Q для атома, излучающего видимый свет, например для атома натрия. Длина волны излучения натрия равна примерно 6000 А и находится в желтой части спектра; эта величина довольно типична. Отсюда

т. е. для атомов Q порядка 10⁸. Это значит, что атомный осциллятор колеблется 10⁸ рад, или примерно 10⁷ периодов, прежде чем его энергия уменьшится в 1/е раз. Частота колебаний света ν = с/λ при длине волны 6000 А составляет 10¹⁵ гц, а, следовательно, время жизни, т. е. время, за которое энергия уменьшится в 1/е раз, есть величина порядка 10^-8 с. Примерно за такое же время высвечиваются свободные атомы в обычных условиях. Проведенная оценка справедлива только для атомов в пустом пространстве, не подверженных никаким внешним воздействиям. Если электрон находится в твердом теле, он сталкивается с другими атомами и электронами, и тогда возникает добавочное сопротивление и затухание будет другим. Величина эффективного сопротивления γ, определяющая сопротивление осциллятора, может быть найдена из соотношения 1/ Q = γ/ω₀; вспомним,что именно γ определяет ширину резонансной кривой (см. фиг. 23.2). Итак, мы вычислили ширины спектральных линий для свободно излучающих атомов! Из равенства λ=2πс/ω получаем