Радіаційне згасання

Заряд, закріплений на пружині з власною частотою ω₀ (або електрон в атомі), навіть в абсолютно порожньому просторі не зможе коливатися нескінченно довго, оскільки, коливаючись, він втрачає енергію на випромінювання. Жодних сил опору у звичайному сенсі цього слова, жодної в'язкості тут немає. Але коливання не будуть відбуватися «вічно», внаслідок випромінювання вони будуть повільно завмирати. А наскільки повільно? Визначимо для осцилятора величину Q, зумовлену так званим радіаційним опором, або радіаційним згасанням. Для будь-якої коливної системи величина Q дорівнює енергії системи в даний момент часу, поділеній на втрати енергії, віднесені до 1 рад:

Запишемо Q по-іншому, користуючись для цього рівністю  dW/dφ = (dW/dt)/(dφ/dt) = –(dW/dt)/ω :

Якщо Q задано, то легко отримати закон спадання енергії коливань: dW/dt = (— ω/Q)W, звідки випливає W =W₀e^–ωt/Q; тут W0 — початкова енергія (при t = 0). Щоб знайти Q для випромінюючого осцилятора, повернемося до формули (32.8) і підставимо замість dW/dt вираз (32.6). А що потрібно взяти як енергію W осцилятора? Кінетична енергія осцилятора дорівнює 1/2mν²: , а середня кінетична енергія дорівнює mω²х₀²/4. Але ми пам'ятаємо, що повна енергія осцилятора дорівнює середній кінетичній плюс середня потенціальна, причому обидві вони для осцилятора рівні; тому повна енергія дорівнює

Яку частоту слід підставити в наші формули? Ми візьмемо власну частоту ω₀, тому що практично це і є частота випромінювання атома, а замість m підставимо m_e. Після низки скорочень ця формула зводиться до вигляду

(Для більшої ясності та з міркувань близькості до історично прийнятої форми ми ввели величину е² =q_e²/4πε₀ і записали 2π/λ замість ω₀/с.) Оскільки величина Q безрозмірна, множник е²/m_eс², що залежить лише від маси й заряду електрона і виражає його внутрішні властивості, повинен мати розмірність довжини. Його назвали класичним радіусом електрона, тому що в старих моделях електрона радіаційний опір намагалися пояснити дією однієї частини електрона на інші його частини, для чого розміри електрона доводилося вибирати порядку е²/m_eс². Але ця величина втратила свій колишній сенс, і ніхто тепер не вважає, що електрон має такий радіус. Чисельне значення класичного радіуса електрона таке:

Обчислимо тепер значення Q для атома, що випромінює видиме світло, наприклад для атома натрію. Довжина хвилі випромінювання натрію дорівнює приблизно 6000 А і перебуває в жовтій частині спектра; ця величина досить типова. Звідси

тобто для атомів Q порядку 10⁸. Це означає, що атомний осцилятор коливається 10⁸ рад, або приблизно 10⁷ періодів, перш ніж його енергія зменшиться в 1/е раза. Частота коливань світла ν = с/λ при довжині хвилі 6000 А становить 10¹⁵ гц, а, отже, час життя, тобто час, за який енергія зменшиться в 1/е раза, є величиною порядку 10^-8 с. Приблизно за такий самий час висвічуються вільні атоми у звичайних умовах. Проведена оцінка справедлива лише для атомів у порожньому просторі, не підданих жодним зовнішнім впливам. Якщо електрон перебуває у твердому тілі, він стикається з іншими атомами й електронами, і тоді виникає додатковий опір і згасання буде іншим. Величина ефективного опору γ, що визначає опір осцилятора, може бути знайдена із співвідношення 1/ Q = γ/ω₀; згадаймо, що саме γ визначає ширину резонансної кривої (див. фіг. 23.2). Отже, ми обчислили ширини спектральних ліній для вільно випромінюючих атомів! З рівності λ=2πс/ω отримуємо