Обчислимо тепер повну енергію, яку випромінює заряд при прискоренні. Для загальності візьмемо випадок довільного прискорення, вважаючи, однак, рух нерелятивістським. Коли прискорення спрямоване, скажімо, по вертикалі, електричне поле випромінювання дорівнює добутку заряду на проекцію запізнілого прискорення, поділеному на відстань. Таким чином, нам відоме електричне поле в будь-якій точці, а звідси ми знаємо енергію ε0сЕ2, що проходить через одиничну площадку за 1 с.
Величина ε0с часто трапляється у формулах поширення радіохвиль. Обернену їй величину можна назвати імпедансом вакууму (або опором вакууму); вона дорівнює 1/ε0с=377 ом. Звідси потужність (у ватах на квадратний метр) є середнім квадратом поля, поділеним на 377.
За допомогою формули (29.1) для електричного поля ми отримуємо
Зображення
де S — потужність на 1 м2, що випромінюється під кутом θ. Як уже зазначалося, S обернено пропорційна відстані. Інтегруючи, отримуємо звідси повну потужність, що випромінюється в усіх напрямках. Для цього спочатку помножимо S на площу смужки сфери, тоді ми отримаємо потік енергії в інтервалі кута dθ (фіг. 32.1). Площа смужки обчислюється так: якщо радіус дорівнює r, то товщина смужки дорівнює rdθ, а довжина 2πr sin θ, оскільки радіус кільцевої смужки дорівнює rsin θ. Таким чином, площа смужки дорівнює
Зображення
Помножуючи потік [потужність на 1 м2, згідно з формулою (32.2)] на площу смужки, знайдемо енергію, що випромінюється в інтервалі кутів θ і θ + dθ; далі потрібно проінтегрувати за всіма кутами θ від 0 до 180°:
Зображення
При обчисленні 0π∫sin3 θdθ скористаємося рівністю sin3 θ = (1—cos2 θ) sin θ і в результаті отримаємо 4/3. Звідси остаточно
Зображення
Необхідно зробити кілька зауважень з приводу цього виразу. Перш за все, оскільки а′ є вектором, то а′2 у формулі (32.5) означає а′·а′, тобто квадрат довжини вектора. По-друге, у формулу (32.2) для потоку входить прискорення, взяте з урахуванням запізнення, тобто прискорення в той момент часу, коли була випромінена енергія, що проходить зараз через поверхню сфери. Може виникнути думка, що енергія дійсно була випромінена точно в зазначений момент часу. Але це не зовсім правильно. Момент випромінювання не можна визначити точно. Можна обчислити результат лише такого руху, наприклад коливання тощо, де прискорення врешті-решт зникає. Отже, ми можемо знайти лише повний потік енергії за весь період коливань, пропорційний середньому за період квадрату прискорення. Тому а′2 у (32.5) повинно означати середнє за часом від квадрата прискорення. Для такого руху, коли прискорення на початку і в кінці перетворюється на нуль, повна випромінена енергія дорівнює інтегралу за часом від виразу (32.5).
Подивимось, що дає формула (32.5) для осцилюючої системи, для якої прискорення а′ має вигляд —ω2х0еiωt. Середнє за період від квадрата прискорення дорівнює (при піднесенні до квадрата треба пам'ятати, що насправді замість експоненти повинна входити її дійсна частина — косинус, а середнє від cos2ωt дає 1/2):
Зображення
Отже,
Зображення
Ці формули були отримані порівняно недавно — на початку XX століття. Це чудові формули, вони мали величезне історичне значення, і про них варто було б почитати у старих книгах з фізики. Щоправда, там використовувалася інша система одиниць, а не система СІ. Однак у кінцевих результатах, що стосуються електронів, ці ускладнення можна усунути за допомогою такого правила відповідності: величина qe2/4πε0, де qe — заряд електрона (у кулонах), раніше записувалася як е2. Легко переконатися, що в системі СІ значення е чисельно дорівнює 1,5188·10-14, оскільки ми знаємо, що qe= 1,60206·10-19 і 1/4πε0 = 8,98748·109. Надалі ми будемо часто користуватися зручним позначенням
Зображення
Якщо це чисельне значення е підставити у старі формули, то всі інші величини в них можна вважати визначеними в системі СІ. Наприклад, формула (32.5) раніше мала вигляд Р = 2/3е2а2/с3. А потенціальна енергія протона й електрона на відстані r є qe2/4πε0r або e2/r, де е =1,5188·10-14 од. СІ.