Наведені вище приклади допоможуть нам зрозуміти одне явище, яке виникає в повітрі внаслідок невпорядкованого розташування атомів. У розділі про показник заломлення ми говорили, що падаюче світло викликає випромінювання атомів. Електричне поле падаючого пучка розгойдує електрони вгору і вниз, і вони, рухаючись із прискоренням, починають випромінювати. Це розсіяне випромінювання утворює пучок світла, що рухається в тому ж напрямку, що й падаючий промінь, але відрізняється від нього за фазою, завдяки чому і виникає показник заломлення.
Але що можна сказати про інтенсивність розсіяного світла в інших напрямках? Якщо атоми дуже правильно чергуються, утворюючи гарний геометричний візерунок, інтенсивність у всіх інших напрямках дорівнює нулю, тому що результат додавання безлічі векторів зі змінними фазами зводиться до нуля. Але якщо розташування атомів безладне, інтенсивність у будь-якому напрямку, як ми вже говорили, дорівнює сумі інтенсивностей від кожного атома окремо. Більше того, атоми газу постійно рухаються, і різниця фаз двох атомів, що набуває певного значення в якийсь момент часу, наступної миті вже зміниться, тому при усередненні за часом зникає кожен перехресний член окремо. Отже, для визначення інтенсивності світла, розсіяного газом, можна взяти розсіяння на одному атомі й помножити інтенсивність на число атомів.
Як уже зазначалося, блакитний колір неба пояснюється саме розсіянням світла в повітрі. Сонячне світло проходить крізь повітря, і, коли ми дивимося вбік від Сонця, наприклад перпендикулярно до падаючого променя, ми бачимо світло блакитного забарвлення; спробуємо тепер підрахувати інтенсивність розсіяного світла і зрозуміти, чому воно блакитне.
Падаючий промінь світла з напруженістю електричного поля Е =Е0еiωt у точці розташування атома, як відомо, змушує електрон коливатися вгору і вниз (фіг. 32.2). За допомогою рівняння (23.8) знаходимо амплітуду коливань
Падаючий промінь світла з напруженістю електричного поля Е =Е0еiωt у точці розташування атома, як відомо, змушує електрон коливатися вгору і вниз (фіг. 32.2). За допомогою рівняння (23.8) знаходимо амплітуду коливань
Зображення
У принципі можна врахувати згасання і ввести суму за частотами, вважаючи, що атом діє як сукупність осциляторів з різними частотами. Однак для простоти обмежимося випадком одного осцилятора і знехтуємо згасанням. Тоді вираз для амплітуди набуває вигляду, яким ми вже користувалися при обчисленні показника заломлення:
Зображення
Із цієї формули для xˆ і рівності (32.2) легко отримати інтенсивність розсіяння в заданому напрямку.
Однак, щоб заощадити час, обчислимо спочатку повну інтенсивність розсіяння в усіх напрямках. Повну енергію, розсіювану атомом за 1 с у всіх напрямках, можна отримати з формули (32.7). Після перегрупування членів вираз для енергії набуває вигляду
Зображення
Ми наводимо результат у такій формі тому, що вона зручна для запам'ятовування: перш за все, розсіювана енергія пропорційна квадрату падаючого поля. Що це означає? Очевидно, квадрат поля пропорційний енергії падаючого пучка, що проходить за 1 с. (Справді, енергія, що падає на 1м2 за 1 с, дорівнює добутку ε0с і середнього квадрата електричного поля <E2>; якщо максимальне значення Е є Е0, то <E2> =1/2 E02). Іншими словами, розсіювана енергія пропорційна густині падаючої енергії; чим сильніше сонячне світло, тим яскравішим здається небо.
А яка частка падаючого світла розсіюється електроном? Уявімо мішень з площею σ, поміщену на шляху променя (не справжню мішень, зроблену з якоїсь речовини, тому що вона призведе до дифракції світла і т. п., а уявну мішень, намальовану в просторі). Кількість енергії, що проходить через поверхню σ, пропорційна падаючій інтенсивності і площі мішені:
Зображення
А тепер давайте домовимося: повну кількість енергії, розсіювану атомом, ми прирівняємо енергії падаючого пучка, що проходить через деяку площу; вказавши величину площі, ми тим самим визначаємо розсіювану енергію. У такій формі відповідь не залежить від інтенсивності падаючого пучка; вона виражає відношення розсіюваної енергії до енергії, що падає на 1м2. Іншими словами,
Зображення
Сенс цієї площі полягає в тому, що, якби вся енергія, яка потрапляє на неї, відкидалася вбік, вона розсіювала б стільки енергії, скільки розсіює атом.
Ця площа називається ефективним перерізом розсіяння. Поняття ефективного перерізу використовується завжди, коли ефект пропорційний інтенсивності падаючого пучка. У таких випадках кількісний вихід ефекту задається площею ефективної області, яка вихоплює з пучка таку частину, щоб вона дорівнювала виходу. Це аж ніяк не означає, що наш осцилятор насправді займає подібну площу. Якби вільний електрон просто розгойдувався туди-сюди, йому б не відповідала жодна площа. Це лише спосіб вираження результату через певну величину; ми вказуємо площу, на яку повинен впасти пучок, щоб вийшла відома енергія розсіяння. Отже, у нашому випадку
Зображення
(s — розсіяння).
Розглянемо кілька прикладів. Перш за все, коли власна частота дуже мала або електрон взагалі вільний, що відповідає ω0 = 0, частота ω випадає і переріз σ стає константою. У цій межі переріз носить назву томсонівського перерізу розсіяння. Він дорівнює площі квадратика зі стороною близько 10 -15 м, тобто площі 10 -30 м2, а це дуже мало! З іншого боку, при розсіянні світла в повітрі власні частоти осциляторів, як ми вже говорили, більші за частоти звичайного світла. Звідси випливає, що величиною ω2 у знаменнику можна знехтувати, і переріз виявляється пропорційним четвертому степеню частоти. Отже, світло з частотою, удвічі більшою, розсіюється у шістнадцять разів інтенсивніше, а це вже цілком відчутна різниця. Таким чином, блакитне світло, частота якого приблизно вдвічі вища за частоту світла на червоному кінці спектра, розсіюється значно інтенсивніше, ніж червоне світло. І, поглянувши на небо, ми бачимо тільки дивовижну синяву! Варто сказати ще кілька слів з приводу отриманих результатів. Дайте відповідь, по-перше, чому ми бачимо хмари! Звідки вони беруться? Всім відомо, що виникають вони за рахунок конденсації водяної пари. Але водяна пара, звичайно, перебувала в атмосфері ще до конденсації. Чому ж ми її не бачили? А ось після конденсації її чудово видно. Не було видно — і раптом з'явилася. Як бачите, таємниця походження хмар — це зовсім не дитяче запитання, на кшталт «Тату, звідки взялася вода?», і її потрібно пояснити. Ми щойно говорили, що кожен атом розсіює світло, і, природно, водяна пара теж повинна розсіювати світло. Загадка полягає в тому, чому вода, конденсована в хмарах, розсіює світло сильніше в таку величезну кількість разів? Давайте подивимося, що вийде, якщо замість одного атома взяти скупчення атомів, скажімо два атоми, розташовані дуже близько один до одного порівняно з довжиною хвилі. Згадаймо, що розміри атомів порядку 1А, а довжина хвилі світла порядку 5000 А, так що кілька атомів цілком можуть утворити згусток, де відстань між ними буде набагато меншою за довжину хвилі. Під дією електричного поля обидва атоми будуть коливатися спільно, як ціле. Розсіюване електричне поле виявиться рівним сумі двох полів з однаковою фазою, тобто подвоєній амплітуді одного атома, а енергія збільшиться в чотири, а не у два рази порівняно з енергією випромінювання від окремого атома! Таким чином, згустки атомів випромінюють або розсіюють більше енергії, ніж стільки ж атомів окремо. Наше старе твердження, що фази двох атомів ніяк не пов'язані, ґрунтувалося на припущенні про велику різницю фаз двох атомів, що справедливо лише тоді, коли відстань між ними порядку кількох довжин хвиль або коли вони рухаються. Якщо ж атоми перебувають зовсім поруч, вони випромінюють обов'язково з однією фазою, і виникає підсилювальна інтерференція, що призводить до збільшення розсіяння. Нехай у згустку, крихітній краплинці води, міститься N атомів; тоді під дією електричного поля вони будуть рухатися, як і раніше, всі разом (вплив атомів один на одного для нас несуттєвий, ми хочемо лише з'ясувати суть справи). Амплітуда розсіяння кожного атома однакова; отже, поле розсіяної хвилі виявляється в N разів більшим. Інтенсивність розсіюваного світла збільшується в N2 разів. Якби атоми перебували далеко один від одного, ми отримали б збільшення в N разів порівняно з випадком окремого атома, а тут виникає N2 разів! Іншими словами, розсіяння краплинками води (по N молекул у кожній) у N разів більше розсіяння тих самих атомів окремо. Таким чином, чим більше вода конденсується, тим більше розсіяння. Чи може розсіяння зростати до нескінченності? Ні, звичайно! На якому ж етапі наші міркування стануть неправильними? Відповідь: коли водяна крапля збільшиться настільки, що її розміри виявляться порядку довжини хвилі, коливання атомів будуть відбуватися з різними фазами, тому що відстань між ними стане надто великою. Таким чином, зі збільшенням розміру крапель розсіяння зростає доти, доки краплі не стануть порядку довжини хвилі, а потім із зростанням крапель розсіяння збільшується набагато повільніше. Крім того, блакитне світло в розсіяній хвилі починає зникати, тому що для коротких хвиль межа зростання розсіяння настає раніше (у менш великих крапель), ніж для довгих хвиль. Хоча кожен атом розсіює короткі хвилі сильніше, ніж довгі, краплі з розмірами, більшими за довжину хвилі, інтенсивніше розсіюють світло поблизу червоного кінця спектра, і зі зростанням крапель колір розсіяного випромінювання змінюється з блакитного на червоний (стає більш червоним). Це явище можна наочно продемонструвати. Потрібно взяти дуже маленькі частинки речовини, які потім поступово будуть рости. Для цього скористаємося розчином гіпосульфіту натрію в сірчаній кислоті, у якому осідають крихітні зернята сірки. Коли сірка починає осідати, зернята ще дуже малі, і розсіяне світло має синюватий відтінок. Зі зростанням числа й величини частинок в осаді світло спочатку стає інтенсивнішим, а потім набуває білуватого відтінку. Крім того, промені, що проходять, втрачають синю складову. Саме тому захід сонця буває червоним; сонячні промені, що пройшли до нас крізь товщу атмосфери, встигли розсіяти блакитне світло і набули оранжевого забарвлення.
Нарешті, при розсіянні виникає ще одне важливе явище, яке, по суті, стосується поляризації — теми наступного розділу. Однак воно настільки цікаве, що є сенс сказати про нього зараз. Виявляється, що електричне поле розсіяного світла коливається переважно в одному певному напрямку. Нехай електричне поле в падаючій хвилі коливається в якомусь напрямку, тоді осцилятор буде здійснювати свої вимушені коливання в тому ж напрямку. Якщо тепер ми будемо дивитися під прямим кутом до падаючого променя, то побачимо поляризоване світло, тобто світло, в якому електричне поле коливається тільки в одному напрямку. Взагалі кажучи, атоми можуть осцилювати в будь-якому напрямку, що лежить у площині, перпендикулярній падаючому променю, але, коли вони рухаються прямо до нас або від нас, ми їх не бачимо. Таким чином, хоча електричне поле в падаючому промені осцилює в найрізноманітніших напрямках (у цьому випадку говорять про неполяризоване світло), світло, що розсіюється під кутом 90°, містить коливання тільки в одному напрямку (фіг. 32.3)!
Є така речовина, звана поляроїдом, крізь яку проходить лише хвиля з електричним полем, паралельним деякій осі. За допомогою поляроїда можна помітити поляризацію і, зокрема, показати, що світло, розсіяне нашим розчином гіпосульфіту, дійсно сильно поляризоване.
Розглянемо кілька прикладів. Перш за все, коли власна частота дуже мала або електрон взагалі вільний, що відповідає ω0 = 0, частота ω випадає і переріз σ стає константою. У цій межі переріз носить назву томсонівського перерізу розсіяння. Він дорівнює площі квадратика зі стороною близько 10 -15 м, тобто площі 10 -30 м2, а це дуже мало! З іншого боку, при розсіянні світла в повітрі власні частоти осциляторів, як ми вже говорили, більші за частоти звичайного світла. Звідси випливає, що величиною ω2 у знаменнику можна знехтувати, і переріз виявляється пропорційним четвертому степеню частоти. Отже, світло з частотою, удвічі більшою, розсіюється у шістнадцять разів інтенсивніше, а це вже цілком відчутна різниця. Таким чином, блакитне світло, частота якого приблизно вдвічі вища за частоту світла на червоному кінці спектра, розсіюється значно інтенсивніше, ніж червоне світло. І, поглянувши на небо, ми бачимо тільки дивовижну синяву! Варто сказати ще кілька слів з приводу отриманих результатів. Дайте відповідь, по-перше, чому ми бачимо хмари! Звідки вони беруться? Всім відомо, що виникають вони за рахунок конденсації водяної пари. Але водяна пара, звичайно, перебувала в атмосфері ще до конденсації. Чому ж ми її не бачили? А ось після конденсації її чудово видно. Не було видно — і раптом з'явилася. Як бачите, таємниця походження хмар — це зовсім не дитяче запитання, на кшталт «Тату, звідки взялася вода?», і її потрібно пояснити. Ми щойно говорили, що кожен атом розсіює світло, і, природно, водяна пара теж повинна розсіювати світло. Загадка полягає в тому, чому вода, конденсована в хмарах, розсіює світло сильніше в таку величезну кількість разів? Давайте подивимося, що вийде, якщо замість одного атома взяти скупчення атомів, скажімо два атоми, розташовані дуже близько один до одного порівняно з довжиною хвилі. Згадаймо, що розміри атомів порядку 1А, а довжина хвилі світла порядку 5000 А, так що кілька атомів цілком можуть утворити згусток, де відстань між ними буде набагато меншою за довжину хвилі. Під дією електричного поля обидва атоми будуть коливатися спільно, як ціле. Розсіюване електричне поле виявиться рівним сумі двох полів з однаковою фазою, тобто подвоєній амплітуді одного атома, а енергія збільшиться в чотири, а не у два рази порівняно з енергією випромінювання від окремого атома! Таким чином, згустки атомів випромінюють або розсіюють більше енергії, ніж стільки ж атомів окремо. Наше старе твердження, що фази двох атомів ніяк не пов'язані, ґрунтувалося на припущенні про велику різницю фаз двох атомів, що справедливо лише тоді, коли відстань між ними порядку кількох довжин хвиль або коли вони рухаються. Якщо ж атоми перебувають зовсім поруч, вони випромінюють обов'язково з однією фазою, і виникає підсилювальна інтерференція, що призводить до збільшення розсіяння. Нехай у згустку, крихітній краплинці води, міститься N атомів; тоді під дією електричного поля вони будуть рухатися, як і раніше, всі разом (вплив атомів один на одного для нас несуттєвий, ми хочемо лише з'ясувати суть справи). Амплітуда розсіяння кожного атома однакова; отже, поле розсіяної хвилі виявляється в N разів більшим. Інтенсивність розсіюваного світла збільшується в N2 разів. Якби атоми перебували далеко один від одного, ми отримали б збільшення в N разів порівняно з випадком окремого атома, а тут виникає N2 разів! Іншими словами, розсіяння краплинками води (по N молекул у кожній) у N разів більше розсіяння тих самих атомів окремо. Таким чином, чим більше вода конденсується, тим більше розсіяння. Чи може розсіяння зростати до нескінченності? Ні, звичайно! На якому ж етапі наші міркування стануть неправильними? Відповідь: коли водяна крапля збільшиться настільки, що її розміри виявляться порядку довжини хвилі, коливання атомів будуть відбуватися з різними фазами, тому що відстань між ними стане надто великою. Таким чином, зі збільшенням розміру крапель розсіяння зростає доти, доки краплі не стануть порядку довжини хвилі, а потім із зростанням крапель розсіяння збільшується набагато повільніше. Крім того, блакитне світло в розсіяній хвилі починає зникати, тому що для коротких хвиль межа зростання розсіяння настає раніше (у менш великих крапель), ніж для довгих хвиль. Хоча кожен атом розсіює короткі хвилі сильніше, ніж довгі, краплі з розмірами, більшими за довжину хвилі, інтенсивніше розсіюють світло поблизу червоного кінця спектра, і зі зростанням крапель колір розсіяного випромінювання змінюється з блакитного на червоний (стає більш червоним). Це явище можна наочно продемонструвати. Потрібно взяти дуже маленькі частинки речовини, які потім поступово будуть рости. Для цього скористаємося розчином гіпосульфіту натрію в сірчаній кислоті, у якому осідають крихітні зернята сірки. Коли сірка починає осідати, зернята ще дуже малі, і розсіяне світло має синюватий відтінок. Зі зростанням числа й величини частинок в осаді світло спочатку стає інтенсивнішим, а потім набуває білуватого відтінку. Крім того, промені, що проходять, втрачають синю складову. Саме тому захід сонця буває червоним; сонячні промені, що пройшли до нас крізь товщу атмосфери, встигли розсіяти блакитне світло і набули оранжевого забарвлення.
Нарешті, при розсіянні виникає ще одне важливе явище, яке, по суті, стосується поляризації — теми наступного розділу. Однак воно настільки цікаве, що є сенс сказати про нього зараз. Виявляється, що електричне поле розсіяного світла коливається переважно в одному певному напрямку. Нехай електричне поле в падаючій хвилі коливається в якомусь напрямку, тоді осцилятор буде здійснювати свої вимушені коливання в тому ж напрямку. Якщо тепер ми будемо дивитися під прямим кутом до падаючого променя, то побачимо поляризоване світло, тобто світло, в якому електричне поле коливається тільки в одному напрямку. Взагалі кажучи, атоми можуть осцилювати в будь-якому напрямку, що лежить у площині, перпендикулярній падаючому променю, але, коли вони рухаються прямо до нас або від нас, ми їх не бачимо. Таким чином, хоча електричне поле в падаючому промені осцилює в найрізноманітніших напрямках (у цьому випадку говорять про неполяризоване світло), світло, що розсіюється під кутом 90°, містить коливання тільки в одному напрямку (фіг. 32.3)!
Є така речовина, звана поляроїдом, крізь яку проходить лише хвиля з електричним полем, паралельним деякій осі. За допомогою поляроїда можна помітити поляризацію і, зокрема, показати, що світло, розсіяне нашим розчином гіпосульфіту, дійсно сильно поляризоване.