У міру розвитку науки нам хочеться здобути щось більше, ніж просто формулу. Спочатку ми спостерігаємо явища, потім за допомогою вимірювань отримуємо числа і, нарешті, знаходимо закон, що пов'язує ці числа. Але справжня велич науки полягає в тому, що ми можемо знайти такий спосіб міркування, за якого закон стає очевидним.
Уперше загальний принцип, який наочно пояснює закон поведінки світла, був запропонований Ферма приблизно в 1650 р. і отримав назву принципу найменшого часу, або принципу Ферма. Ось його ідея: світло вибирає з усіх можливих шляхів, що з'єднують дві точки, той шлях, який потребує найменшого часу для свого проходження.
Покажемо спочатку, що це правильно для випадку з дзеркалом, що цей простий принцип пояснює і прямолінійність поширення світла, і закон відбиття світла від дзеркала. Ми явно робимо успіхи!
Спробуємо розв'язати таку задачу. На фіг. 26.3 зображено дві точки А і В і плоске дзеркало ММ`. Яким шляхом можна за найкоротший час потрапити з точки А в точку В? Відповідь: по прямій, проведеній з А в В!
Але якщо ми додамо додаткову умову, що світло має потрапити на дзеркало, відбитися від нього і повернутися знову в точку В знову-таки за найкоротший час, то відповісти не так уже й просто. Один шлях — якомога швидше дістатися до дзеркала, а звідти в точку В, тобто по шляху ADB. Шлях DB, звісно, довгий. Якщо зсунутися трохи вправо, у точку Е, то перший відрізок шляху трохи збільшиться, зате сильно зменшиться другий, і час проходження через це стане меншим. Як знайти точку С, для якої час проходження найменший? Скористаємося для цього хитрим геометричним прийомом.
По інший бік дзеркала ММ`, на такій самій відстані від нього, що й точка В, побудуємо штучну точку В`. Потім проведемо лінію ЕВ`. Оскільки кут BFM прямий і BF=FB`, то ЕВ дорівнює ЕВ`. Отже, сума довжин двох відрізків АЕ+ЕВ, пропорційна часу їх проходження (якщо світло проходить з постійною швидкістю), дорівнює сумі довжин АЕ+ЕВ`. Тепер потрібно з'ясувати, коли сума довжин буде найменшою. Відповідь: коли точка С лежатиме на прямій, що з'єднує А і В`! Іншими словами, потрібно йти до уявної точки В` (уявного зображення точки В), і тоді ми знайдемо точку С. Далі, якщо АСВ` — пряма лінія, кут BCF дорівнює куту B`CF і, отже, куту АСМ. Таким чином, твердження про рівність кутів падіння і відбиття рівносильне твердженню, що світло при відбитті від дзеркала в точку В вибирає шлях, який потребує найменшого часу. Ще Герон Александрійський висловив твердження, що світло при відбитті йде з однієї точки в іншу по найкоротшому шляху, тож ідея принципу, як бачите, не нова. Саме це надихнуло Ферма, і він спробував застосувати цей принцип до явища заломлення. Але світло, заломлюючись, очевидним чином іде не по найкоротшому шляху, і тоді Ферма запропонував інший принцип — світло вибирає шлях, час проходження по якому найменший. Перш ніж перейти до питання про заломлення світла, зробимо ще одне зауваження про відбиття від дзеркала. Якщо помістити джерело світла в точку В і спрямувати промінь на дзеркало, світло, відбиваючись від дзеркала, пройде з В в А так, наче джерело перебуває у В`, а дзеркала нема взагалі. Наше око бачить тільки те світло, яке справді входить у нього; і хоча джерело розташоване в точці В, дзеркало спрямовує світло в око точно так, наче джерело перебуває у В`, і система око — мозок інтерпретує саме так це явище. Тому ілюзія, що джерело чи предмет перебуває за дзеркалом, викликана лише тим фактом, що світло потрапляє в око фізично саме так, як якби предмет справді був позаду дзеркала (якщо не брати до уваги пилу на дзеркалі й того, що нам відомо, що дзеркало реально існує, та інших відомостей, які враховує наш мозок). Покажемо тепер, що з принципу найменшого часу випливає закон Снелла для заломлення. Ми повинні, звісно, щось припустити щодо швидкості світла у воді. Вважатимемо, що швидкість світла у воді менша за швидкість світла в повітрі, і відношення другої швидкості до першої позначимо через n.
Наше завдання, як і раніше, полягає в тому, щоб на фіг. 26.4 потрапити з точки А в В за найменший час. Щоб переконатися, що шлях по прямій тут не найшвидший, уявімо собі таку ситуацію: гарненька дівчина падає з човна у воду в точці В і кричить, просить врятувати. Лінія X — це берег. Ви перебуваєте на суші в точці А і бачите, що сталося, ви вмієте плавати і вмієте бігати. Але бігаєте ви швидше, ніж плаваєте. Що вам робити? Бігти по прямій до берега? (Звісно!) Але, трохи поміркувавши, ви зрозумієте, що вигідніше пробігти трохи довше берегом, щоб зменшити ваш шлях у воді, бо у воді ви рухатиметеся набагато повільніше. (Розмірковуючи так, найкраще було б заздалегідь ретельно обчислити шлях!)
У всякому разі, спробуймо показати, що остаточний розв'язок задачі — це шлях АСВ, який займає з усіх можливих найменший час. Якщо цей шлях найкоротший за часом, то будь-який інший виявиться довшим. Тому якщо відкласти на графіку залежність часу від положення точки X, вийде крива, схожа на зображену на фіг. 26.5, де точка С відповідає найменшому часу. Це означає, що для точок X поблизу С у першому наближенні час проходження практично однаковий, оскільки в точці С нахил кривої дорівнює нулю. Отже, наш спосіб знайти шуканий шлях зводиться до вимоги, щоб при невеликій зміні положення точки час проходження не змінювався. (Звісно, виникнуть нескінченно малі зміни часу другого порядку, і вони мають бути додатними при зміщенні в обидва боки від точки С.) Візьмемо близьку точку X, обчислимо час проходження на шляху АХВ і порівняємо його зі старим шляхом АСВ. Зробити це дуже просто. Звісно, потрібно ще, щоб різниця часів прямувала до нуля для малих відстаней ХС. Звернімося спочатку до шляху по суходолу. Якщо ми опустимо перпендикуляр ЕХ, то легко побачимо, що наш шлях став коротшим на довжину ЕС. Можна сказати, що цю відстань ми виграли. З іншого боку, опустивши перпендикуляр CF, ми побачимо, що у воді доводиться проплисти додаткову відстань XF. У цьому ми програли. З погляду економії часу виграється час на відрізку ЕС, але втрачається на відрізку XF. Ці два проміжки часу мають бути рівними, оскільки в першому наближенні повний час проходження не змінюється. Припустивши, що швидкість у воді дорівнює швидкості в повітрі, помноженій на 1/n, отримаємо
Спробуємо розв'язати таку задачу. На фіг. 26.3 зображено дві точки А і В і плоске дзеркало ММ`. Яким шляхом можна за найкоротший час потрапити з точки А в точку В? Відповідь: по прямій, проведеній з А в В!Але якщо ми додамо додаткову умову, що світло має потрапити на дзеркало, відбитися від нього і повернутися знову в точку В знову-таки за найкоротший час, то відповісти не так уже й просто. Один шлях — якомога швидше дістатися до дзеркала, а звідти в точку В, тобто по шляху ADB. Шлях DB, звісно, довгий. Якщо зсунутися трохи вправо, у точку Е, то перший відрізок шляху трохи збільшиться, зате сильно зменшиться другий, і час проходження через це стане меншим. Як знайти точку С, для якої час проходження найменший? Скористаємося для цього хитрим геометричним прийомом.
По інший бік дзеркала ММ`, на такій самій відстані від нього, що й точка В, побудуємо штучну точку В`. Потім проведемо лінію ЕВ`. Оскільки кут BFM прямий і BF=FB`, то ЕВ дорівнює ЕВ`. Отже, сума довжин двох відрізків АЕ+ЕВ, пропорційна часу їх проходження (якщо світло проходить з постійною швидкістю), дорівнює сумі довжин АЕ+ЕВ`. Тепер потрібно з'ясувати, коли сума довжин буде найменшою. Відповідь: коли точка С лежатиме на прямій, що з'єднує А і В`! Іншими словами, потрібно йти до уявної точки В` (уявного зображення точки В), і тоді ми знайдемо точку С. Далі, якщо АСВ` — пряма лінія, кут BCF дорівнює куту B`CF і, отже, куту АСМ. Таким чином, твердження про рівність кутів падіння і відбиття рівносильне твердженню, що світло при відбитті від дзеркала в точку В вибирає шлях, який потребує найменшого часу. Ще Герон Александрійський висловив твердження, що світло при відбитті йде з однієї точки в іншу по найкоротшому шляху, тож ідея принципу, як бачите, не нова. Саме це надихнуло Ферма, і він спробував застосувати цей принцип до явища заломлення. Але світло, заломлюючись, очевидним чином іде не по найкоротшому шляху, і тоді Ферма запропонував інший принцип — світло вибирає шлях, час проходження по якому найменший. Перш ніж перейти до питання про заломлення світла, зробимо ще одне зауваження про відбиття від дзеркала. Якщо помістити джерело світла в точку В і спрямувати промінь на дзеркало, світло, відбиваючись від дзеркала, пройде з В в А так, наче джерело перебуває у В`, а дзеркала нема взагалі. Наше око бачить тільки те світло, яке справді входить у нього; і хоча джерело розташоване в точці В, дзеркало спрямовує світло в око точно так, наче джерело перебуває у В`, і система око — мозок інтерпретує саме так це явище. Тому ілюзія, що джерело чи предмет перебуває за дзеркалом, викликана лише тим фактом, що світло потрапляє в око фізично саме так, як якби предмет справді був позаду дзеркала (якщо не брати до уваги пилу на дзеркалі й того, що нам відомо, що дзеркало реально існує, та інших відомостей, які враховує наш мозок). Покажемо тепер, що з принципу найменшого часу випливає закон Снелла для заломлення. Ми повинні, звісно, щось припустити щодо швидкості світла у воді. Вважатимемо, що швидкість світла у воді менша за швидкість світла в повітрі, і відношення другої швидкості до першої позначимо через n.
Наше завдання, як і раніше, полягає в тому, щоб на фіг. 26.4 потрапити з точки А в В за найменший час. Щоб переконатися, що шлях по прямій тут не найшвидший, уявімо собі таку ситуацію: гарненька дівчина падає з човна у воду в точці В і кричить, просить врятувати. Лінія X — це берег. Ви перебуваєте на суші в точці А і бачите, що сталося, ви вмієте плавати і вмієте бігати. Але бігаєте ви швидше, ніж плаваєте. Що вам робити? Бігти по прямій до берега? (Звісно!) Але, трохи поміркувавши, ви зрозумієте, що вигідніше пробігти трохи довше берегом, щоб зменшити ваш шлях у воді, бо у воді ви рухатиметеся набагато повільніше. (Розмірковуючи так, найкраще було б заздалегідь ретельно обчислити шлях!)
У всякому разі, спробуймо показати, що остаточний розв'язок задачі — це шлях АСВ, який займає з усіх можливих найменший час. Якщо цей шлях найкоротший за часом, то будь-який інший виявиться довшим. Тому якщо відкласти на графіку залежність часу від положення точки X, вийде крива, схожа на зображену на фіг. 26.5, де точка С відповідає найменшому часу. Це означає, що для точок X поблизу С у першому наближенні час проходження практично однаковий, оскільки в точці С нахил кривої дорівнює нулю. Отже, наш спосіб знайти шуканий шлях зводиться до вимоги, щоб при невеликій зміні положення точки час проходження не змінювався. (Звісно, виникнуть нескінченно малі зміни часу другого порядку, і вони мають бути додатними при зміщенні в обидва боки від точки С.) Візьмемо близьку точку X, обчислимо час проходження на шляху АХВ і порівняємо його зі старим шляхом АСВ. Зробити це дуже просто. Звісно, потрібно ще, щоб різниця часів прямувала до нуля для малих відстаней ХС. Звернімося спочатку до шляху по суходолу. Якщо ми опустимо перпендикуляр ЕХ, то легко побачимо, що наш шлях став коротшим на довжину ЕС. Можна сказати, що цю відстань ми виграли. З іншого боку, опустивши перпендикуляр CF, ми побачимо, що у воді доводиться проплисти додаткову відстань XF. У цьому ми програли. З погляду економії часу виграється час на відрізку ЕС, але втрачається на відрізку XF. Ці два проміжки часу мають бути рівними, оскільки в першому наближенні повний час проходження не змінюється. Припустивши, що швидкість у воді дорівнює швидкості в повітрі, помноженій на 1/n, отримаємоЗображення
Тому ми бачимо, що якщо нам вдалося правильно вибрати точку С (ХС sin ЕХС = nХС sin XCF) або ми скоротили на довжину спільної гіпотенузи ХС і помітили, що
EXC=ECN=θi і XCF=BCN`=θr ,
то ми отримаємо
EXC=ECN=θi і XCF=BCN`=θr ,
то ми отримаємо
Зображення
Звідси видно, що при відношенні швидкостей, рівному n, світло має рухатися з однієї точки в іншу по такому шляху, щоб відношення синусів θi і θr дорівнювало відношенню швидкостей у двох середовищах.