Записане вище рівняння можна спростити доволі цікавим способом. Опустімо нецікавий для нас постійний член R0/c (це означає лише, що ми зміщуємо початок відліку часу t на сталий відрізок) і запишемо
Зображення
Нам потрібно знайти х′ і у′ як функції t, а не τ, і досягається це так: як підказує рівняння (34.5), треба взяти справжній рух заряду і додати час τ, помножений на константу (швидкість світла). На фіг. 34.2 показано, що це означає. Візьмемо справжню траєкторію заряду (показану ліворуч) і уявімо собі, що в міру руху заряд віддаляється від точки Р зі швидкістю с (тут немає жодних релятивістських скорочень і подібних речей; це просто математичне додавання сτ). Таким шляхом ми отримаємо нову траєкторію, де по осі абсцис відкладено ct, як показано на рисунку праворуч. (На рисунку зображено траєкторію доволі складного руху в площині, але рух може відбуватися не тільки в площині.) Сенс наведеної процедури полягає в тому, що горизонтальна відстань у правій частині фіг. 34.2, на відміну від лівої, виявляється рівною не z, a z+cτ, тобто ct. Ми знайшли, таким чином, графік зміни х′ (і у′) залежно від t! Залишилося тільки визначити прискорення на цій кривій, тобто продиференціювати її двічі. Звідси остаточно робимо висновок: щоб знайти електричне поле рухомого заряду, треба взяти траєкторію руху і змусити кожну її точку рухатися від точки спостереження зі швидкістю с; отримана крива дає положення х′ і у′ як функцію t. Прискорення на цій кривій визначить електричне поле залежно від t. Можна, якщо завгодно, уявити собі, що вся ця «тверда» крива рухається вперед зі швидкістю с крізь площину зору, так що точка перетину з площиною зору має координати х′ і у′. Прискорення цієї точки і визначить електричне поле! Здобутий розв'язок буде не менш точним, ніж формула, з якої ми виходили,— це просто її геометричне представлення.
Якщо джерело здійснює відносно повільний рух, як, наприклад, повільно коливний вгору-вниз осцилятор, то при розтягуванні цього руху зі швидкістю світла вийде проста синусоїдальна крива. Звідси можна отримати формулу для поля, яке створює осцилювальний заряд і яку ми вже неодноразово бачили.
Цікавіший приклад — це електрон, що рухається по колу зі швидкістю, близькою до швидкості світла. Якщо спостерігач перебуває в площині руху електрона, запізнений рух x′(t) має для нього вигляд, зображений на фіг. 34.3. Що це за крива? Якщо ми уявимо собі радіус-вектор, проведений з центра кола до заряду, і якщо ми продовжимо ці радіальні лінії трошки за заряд (зовсім краплинку, якщо заряд рухається швидко), то ми прийдемо до точки, яка рухається зі швидкістю світла c. Тому результуючий рух є рухом заряду, прикріпленого до колеса, яке котиться назад (без ковзання) зі швидкістю c; це дає нам криву, дуже схожу на циклоїду, називається вона гіпоциклоїдою.
Коли заряд рухається по колу зі швидкістю, близькою до швидкості світла, піки на кривій стають дуже гострими, а за швидкості, що дорівнює швидкості світла, вони були б нескінченно гострими. «Нескінченно гострі» піки! Дуже цікаво; це означає, що поблизу такого піка друга похідна дуже велика. Один раз протягом кожного періоду виникає потужний і різкий імпульс електричного поля. Нічого подібного в разі нерелятивістського руху не буває, там електричне поле протягом усього періоду набуває значень приблизно одного й того самого порядку. Натомість у разі великих швидкостей там виникають різкі імпульси електричного поля з інтервалом часу 1/Т0, де Т0 — період обертання. Це сильне електричне поле випромінюється у вузькому конусі навколо напрямку руху заряду. Коли ж заряд віддаляється від точки спостереження Р, похідна кривої мала, і випромінювання в напрямку Р дуже слабке.