Ефект Доплера

Розгляньмо тепер низку інших ефектів, пов'язаних з рухом джерела. Нехай джерело є нерухомим атомом, що коливається зі своєю звичайною частотою ω₀. Частота спостережуваного світла тоді дорівнюватиме ω₀. Але візьмемо інший приклад: нехай такий самий атом коливається з частотою ω₁ і водночас увесь атом, увесь осцилятор як ціле рухається зі швидкістю ν в напрямку до спостерігача. Тоді справжній рух у просторі буде таким, як зображено на фіг. 34.10,а. Використаємо наш звичайний прийом і додамо сτ, тобто зсунемо всю криву назад і отримаємо коливання, представлені на фіг. 34.10,6. За проміжок часу τ осцилятор проходить відстань ντ, а на графіку з осями х′ і у′ відповідна відстань дорівнює (с—ν)τ. Таким чином, число коливань з частотою ω₁ яке вкладалося в інтервал Δτ, на новому кресленні вкладається тепер уже в інтервал Δτ′ = (1—ν/с) Δτ; осциляції стискаються, і, коли нова крива рухатиметься повз нас зі швидкістю c, ми побачимо світло вищої частоти, збільшеної за рахунок фактора скорочення (1—ν/c). Отже, спостережувана частота дорівнює

Можна, звісно, пояснити цей ефект і іншими способами. Нехай, наприклад, той самий атом випускає не синусоїдальну хвилю, а короткі імпульси (пі, пі, пі, пі) з деякою частотою ω₁. З якою частотою ми будемо їх сприймати? Перший імпульс дійде до нас через певний час, а другий імпульс прийде вже через коротший час, бо атом за цей час встиг наблизитися до нас. Отже, проміжок часу між сигналами «пі» скоротився за рахунок руху атома. Аналізуючи цю картину з геометричної точки зору, ми дійдемо висновку, що частота імпульсів збільшується в 1/(1—ν/c) раза. Чи спостерігатиметься частота ω = ω₀/(1 — ν/c), якщо атом з власною частотою ω₀ рухається зі швидкістю ν до спостерігача? Ні. Нам добре відомо, що власна частота рухомого атома ω₁ і частота нерухомого атома ω₀ — не одне й те саме через релятивістське сповільнення ходу часу. Тож якщо ω₀ — власна частота нерухомого атома, то частота рухомого атома дорівнюватиме

Тому спостережувана частота ω остаточно дорівнює

Зміна частоти, яка виникає в такому разі, називається ефектом Доплера: якщо випромінювальний об'єкт рухається на нас, випромінюване ним світло здається синішим, а якщо він рухається від нас, світло стає червонішим. Наведімо ще два інших виведення цього цікавого і важливого результату. Нехай тепер нерухоме джерело випромінює з частотою ω₀, а спостерігач рухається зі швидкістю ν до джерела. За час t спостерігач зміститься на нову відстань νt від того місця, де він був при t = 0. Скільки радіан фази пройде повз спостерігача? Передусім, як і повз будь-яку фіксовану точку, пройде ω₀t, а також деяка добавка за рахунок руху джерела, а саме νtk₀ (це число радіан на метр, помножене на відстань). Звідси число радіан за одиницю часу, тобто спостережувана частота, дорівнює ω₁ = ω₀ +k₀ν. Усе це виведення було зроблено з точки зору нерухомого спостерігача; подивімося, що побачить рухомий спостерігач. Тут ми знову повинні врахувати різницю в перебігу часу для спостерігача в спокої і в русі, а це означає, що ми маємо поділити результат на √1-ν²/c². Отже, нехай k₀ є хвильове число (кількість радіан на метр у напрямку руху), а ω₀ — частота; тоді частота, яку реєструє рухомий спостерігач, дорівнює

Для світла ми знаємо, що k₀ = ω₀/с. Отже, у розглядуваному прикладі шукане співвідношення має вигляд

і, здавалося б, не схоже на (34.12)! Чи відрізняється частота, яку ми спостерігаємо при нашому русі до джерела, від частоти, яку спостерігаємо при русі джерела до нас? Звісно, ні! Теорія відносності стверджує, що обидві частоти мають бути точно рівні. Якби ми були достатньо математично підготовлені, то могли б переконатися, що обидва математичні вирази точно рівні! Насправді вимога рівності обох виразів часто використовується для виведення релятивістського сповільнення часу, бо без квадратних коренів рівність одразу порушується. Раз уже ми почали говорити про теорію відносності, наведімо ще й третій спосіб доведення, який видасться, мабуть, більш загальним. (Суть справи лишається тією самою, бо не має значення, яким способом отримано результат!) У теорії відносності є зв'язок між положенням у просторі й часом, які визначає один спостерігач, і положенням та часом, які визначає інший спостерігач, що рухається відносно першого. Ми вже виписували ці співвідношення (розд. 16). Вони являють собою перетворення Лоренца, прямі й обернені:

Для нерухомого спостерігача хвиля має вигляд cos(ωt—kx); усі гребені, западини і нулі описуються цією формою. А який вигляд матиме та сама фізична хвиля для рухомого спостерігача? Там, де поле дорівнює нулю, будь-який спостерігач при вимірюванні отримає нуль; це релятивістський інваріант. Отже, форма хвилі не змінюється, потрібно лише записати її в системі відліку рухомого спостерігача:

Здійснивши перегрупування членів, отримаємо

Ми знову отримаємо хвилю у вигляді косинуса з частотою ω′ як коефіцієнтом при t′ і деякою іншою константою k′ — коефіцієнтом при х′. Назвемо k′ (або число коливань на 1 м) хвильовим числом для другого спостерігача. Таким чином, рухомий спостерігач зафіксує іншу частоту і інше хвильове число, визначені формулами

Легко побачити, що (34.17) збігається з формулою (34.13), отриманою нами на підставі суто фізичних міркувань.