Чотиривектор (ω, k)

Співвідношення (34.17) і (34.18) мають дуже цікаву властивість: нова частота ω′ лінійно пов'язана зі старою частотою ω і старим хвильовим числом k, а нове хвильове число подається у вигляді комбінації старого хвильового числа і частоти. Далі, хвильове число є швидкістю зміни фази з відстанню, а частота — швидкістю зміни фази з часом, і самі співвідношення виявляють глибоку аналогію з перетвореннями Лоренца для координати і часу: якщо ω зіставити з t, а k з х/с², то нове ω′ зіставляється з t′, a k′ — з координатою х′/с². Іншими словами, при перетворенні Лоренца ω і k змінюються так само, як t і х. Ці величини ω і k утворюють так званий чотиривектор. Чотирикомпонентна величина, що перетворюється як час і координати, і є чотиривектором. Тут усе правильно, за винятком одного — чотиривектор має чотири компоненти, а в нас фігурують лише дві! Як уже говорилося, ω і k подібні до часу й однієї координати простору; для введення двох інших координат треба вивчити поширення світла в тривимірному просторі. Нехай задано систему координат х, у, z, і хвиля рухається в просторі з хвильовим фронтом (фіг. 34.11). Довжина хвилі є λ, а напрямок поширення хвилі не збігається з жодною віссю координат. Який вигляд має формула руху для такої хвилі? Відповідь очевидна: це cos (ωt–ks), де k =2π/λ, a s (відстань уздовж напрямку руху хвилі) — проекція вектора положення на напрямок руху. Запишемо це так: нехай r є вектор точки в просторі, тоді s є r ·e_k, де e_k — одиничний вектор у напрямку руху хвилі. Іншими словами, s дорівнює r cos(r ·e_k), проекції відстані на напрямок руху. Отже, наша хвиля описується формулою cos(ωt–ke_k·r). Виявляється дуже зручним увести вектор k, який називають хвильовим вектором; його величина дорівнює хвильовому числу 2π/λ, а напрямок збігається з напрямком поширення хвилі

Завдяки введенню цього вектора хвиля набуває вигляду cos(ωt—k·r), або cos (ωt—k_xх—k_yу—k_zz). З'ясуймо сенс проекцій k, наприклад k_x. Очевидно, k_x є швидкістю зміни фази залежно від координати х. Фіг 34.11 підказує нам, що фаза змінюється зі зростанням х так, ніби вздовж х біжить хвиля, але відповідна їй довжина хвилі виявляється більшою за величиною. «Довжина хвилі в напрямку х» більша за справжню на множник, що дорівнює секансу кута α між віссю х і напрямком руху справжньої хвилі:

Отже, швидкість зміни фази, обернено пропорційна λ_x, у напрямку х виявляється меншою на множник cos α; але той самий множник містить і k_x, що дорівнює модулю k, помноженому на косинус кута між k і віссю х! Отже, ми з'ясували сенс хвильового вектора, що описує поширення хвилі в тривимірному просторі. Чотири величини ω, k_x, k_y, k_z перетворюються в теорії відносності як чотиривектор, причому ω відповідає часу, а k_x, k_y, k_z відповідають х, у і z і компонентам чотиривектора. Ще раніше, коли ми займалися теорією відносності (розд. 17), ми з'ясували, що з чотиривекторів можна скласти релятивістський штрихований добуток. Взявши вектор положення х_μ (де μ нумерує чотири компоненти — час і три просторові) і хвильовий вектор k_μ(де μ знову пробігає чотири значення), утворимо штрихований добуток х_μ і k_μ , що записується у вигляді ∑′k_μх_μ. Цей добуток є інваріантом, що не залежить від вибору системи координат. Згідно з визначенням штрихованого добутку,
 
можна записати ∑′k_μх_μ у такому вигляді:

Оскільки k_μ є чотиривектором, то, як ми вже знаємо, ∑′k_μx_μ є інваріантом стосовно перетворень Лоренца. Під знак косинуса в нашій формулі для плоскої хвилі входить саме цей добуток, і він зобов'язаний бути інваріантом відносно перетворень Лоренца. У нас не може з'явитися формула, у якій під знаком косинуса стоїть неінваріантна величина, бо ми знаємо, що значення фази не залежить від вибору системи координат.