Рухомі джерела

У цьому розділі ми розповімо ще про низку ефектів, пов'язаних із випромінюванням, і на цьому завершимо виклад класичної теорії світла. Проведений нами в попередніх розділах аналіз світлових явищ був достатньо повним і докладним. Однак ми не торкнулися одного процесу електромагнітного випромінювання, важливого у застосуваннях, — ми не досліджували поведінки радіохвиль у ящику з відбивними стінками розміром порядку довжини хвилі або радіохвиль, що пропускаються крізь довгу трубу. Явища, що виникають у так званих порожнистих резонаторах і хвилеводах, ми обговоримо пізніше, причому спершу проілюструємо їх на іншому фізичному прикладі — на прикладі звуку. А загалом вивчення класичної теорії світла завершується цим розділом. Усім ефектам, про які тут ітиметься мова, властиво те, що вони пов'язані з рухом джерела. Ми більше не припускатимемо, що зміщення джерела незначне і що його рух відбувається з відносно малою швидкістю навколо фіксованої точки. Згадаймо, що, згідно з основними законами електродинаміки, електричне поле на великих відстанях від рухомого заряду визначається формулою

визначальною величиною тут є друга похідна одиничного вектора е_R′ , спрямованого до уявного положення заряду. Одиничний вектор характеризує положення заряду, звісно, не в той самий момент часу, а те місце, де перебував би заряд, якщо врахувати скінченну швидкість передавання інформації від заряду до спостерігача. Разом з електричним полем виникає магнітне поле, завжди спрямоване перпендикулярно до електричного поля і до уявного положення заряду. Воно визначається формулою

Досі ми розглядали випадок нерелятивістських швидкостей, коли рухом у напрямку джерела можна було знехтувати. Звернімося тепер до загального випадку довільних швидкостей і подивімося, які ефекти виникають за цих умов. Отже, нехай рух відбувається з будь-якою швидкістю, але відстань від детектора до джерела, як і раніше, велика. У розд. 28 ми вже говорили, що до похідної d²е_R′ /dt² входить лише зміна напрямку е_R′. Нехай заряд перебуває в точці з координатами (х, y, z), а вісь z лежить уздовж лінії спостереження (фіг. 34.1). У даний момент часу τ координати заряду є х(τ), у(τ) і z(τ). Відстань R з великою точністю дорівнює R(τ) = R₀ + z(τ). Напрямок вектора е_R′ залежить головним чином від x і у і майже зовсім не залежить від z. Поперечні компоненти одиничного вектора дорівнюють x/R і y/R; диференціюючи їх, ми отримуємо члени, що містять R² у знаменнику:

Таким чином, на досить великих відстанях суттєві лише члени з похідними х і у. Звідси

де R₀ приблизно дорівнює відстані до заряду q; визначимо її як відстань ОР до початку координат (х, у, z). Отже, електричне поле дорівнює константі, помноженій на дуже просту величину — похідну координат х і у за t. (Математично їх можна назвати поперечними компонентами вектора положення заряду r, але ясності від цього не побільшає.) Звісно, треба завжди пам'ятати, що координати беруться не в момент спостереження, а з урахуванням запізнення. У даному випадку запізнення залежить і від z(τ). Чому дорівнює час запізнення? Позначимо час спостереження через t (це час у точці спостереження Р), тоді час τ, який у точці А відповідає моментові t, не збігатиметься з t, а відставатиме від нього на проміжок часу, необхідний світлу, щоб пройти всю відстань від заряду до точки спостереження. У першому наближенні час запізнення дорівнює R₀/c, тобто сталій величині (що нецікаво), а в наступному наближенні має залежати від z-координати положення заряду в момент τ, бо для заряду q, зсунутого трохи назад, запізнення збільшується. Цим ефектом ми раніше нехтували; якщо тепер його врахувати, ми отримаємо формулу, придатну для будь-яких швидкостей. Нам залишається вибрати певне значення t, обчислити за його допомогою τ і знайти х і у в момент часу τ. Запізнені значення х і у позначимо через х′ і y′, другі похідні від них визначають поле. Отже, τ визначається з рівнянь

І

Ці рівняння досить складні, але їхній розв'язок легко отримати геометричним шляхом. Креслення дасть вам змогу якісно відчути, як виникають ці співвідношення, хоча для виведення точних результатів знадобиться подолати ще чимало математичних труднощів.