Припустімо, що є деяка площина, яку заповнюють осцилятори, причому всі вони коливаються в площині одночасно, з однією амплітудою і фазою. Чому дорівнює поле на скінченній, але достатньо великій відстані від площини? (Ми не можемо обрати точку спостереження дуже близько від площини, тому що в нас немає точних формул для поля поблизу джерел.) Нехай площина зарядів збігається з площиною XY і нас цікавить поле в точці Р, що лежить на осі z, достатньо далеко від площини (фіг. 30.10). Припустімо, що число зарядів на одиничній площадці дорівнює n, а величина кожного заряду q. Усі заряди здійснюють однакові гармонічні коливання в одному й тому самому напрямку, з тією самою амплітудою і фазою. Зміщення заряду з його середнього положення описується функцією x0 cos ωt. Вводячи комплексну амплітуду, дійсна частина якої дає реальний рух, будемо описувати коливання заряду функцією x0eiωt .
Щоб знайти поле, яке створюють усі заряди в точці Р, потрібно обчислити спочатку поле окремого заряду q, а потім скласти поля всіх зарядів. Як відомо, поле випромінювання пропорційне прискоренню заряду, тобто — ω2x0eiωt (і однакове для всіх зарядів). Електричне поле в точці Р, яке створює заряд у точці Q, пропорційне прискоренню заряду q, потрібно лише пам'ятати, що поле в точці Р в момент часу t визначається прискоренням заряду в більш ранній момент часу t′ = t – r/c, де r/с — час, за який хвиля проходить відстань від Q до Р. Тому поле в точці Р пропорційне
Зображення
Підставляючи це значення прискорення у формулу для поля, яке створює заряд на великій відстані, отримуємо
Зображення
Однак ця формула не зовсім правильна, оскільки потрібно брати не все прискорення цілком, а його компоненту, перпендикулярну до лінії QP. Ми припустимо, однак, що точка Р перебуває від площини набагато далі, ніж точка Q від осі z (відстань ρ на фіг. 30.10), так що для ефектів, які ми хочемо врахувати, косинус можна замінити одиницею (косинус і так доволі близький до одиниці).
Повне поле в точці Р виходить підсумовуванням внесків від усіх зарядів у площині. Звісно, ми повинні взяти векторну суму полів. Але оскільки напрямок поля приблизно однаковий для всіх зарядів, у межах зробленого наближення достатньо скласти величини всіх полів. Крім того, у нашому наближенні поле в точці Р залежить тільки від r, отже, всі заряди з однаковим r створюють рівні поля. Тому передусім складемо поля всіх зарядів у кільці шириною dρ і радіусом ρ. Інтегруючи потім за всіма ρ, отримуємо повне поле всіх зарядів.
Число зарядів у кільці дорівнює добутку площі кільця, 2πρdρ, на η — густину зарядів на одиницю площі. Звідси
Зображення
Інтеграл береться в межах ρ=0 і ρ = ∞. Час t, звісно, зафіксований, так що єдиними змінними величинами є ρ і r. Відволічемося поки що від постійних множників, включно з eiωt, і обчислимо інтеграл
Зображення
Для цього врахуємо співвідношення між ρ і r:
Зображення
При диференціюванні формули (30.14) z потрібно вважати незалежним від ρ, тоді
Зображення
що дуже до речі, оскільки при заміні в інтегралі ρ dρ на r dr знаменник r скорочується. Інтеграл набуває простішого вигляду
Зображення
Експонента інтегрується дуже просто. Потрібно поставити в знаменник коефіцієнт при r у показнику експоненти і взяти саму експоненту в точках, що відповідають межам. Але межі за r відрізняються від меж за ρ. Коли ρ =0, нижня межа r=z, тобто межі за r дорівнюють z і нескінченності. Інтеграл (30.15) дорівнює
Зображення
Замість (r/c)∞ ми тут написали ∞, оскільки і те, і інше означає просто скільки завгодно велику величину!
А от e–i∞— величина загадкова. Її дійсна частина, що дорівнює cos ( —∞), з математичного погляду величина цілком невизначена. [Хоча можна припустити, що вона перебуває десь [а може, і всюди (?)—між +1 і - 1!] Але у фізичній ситуації ця величина може означати щось цілком розумне і зазвичай виявляється рівною нулю. Щоб переконатися, що це так у нашому випадку, повернемося до первісного інтеграла (30.15)
Вираз (30.15) можна розуміти як суму великого числа маленьких комплексних чисел, модуль яких Δr, a кут у комплексній площині θ= –ωr/с. Спробуймо оцінити цю суму графічно. На фіг. 30.11 відкладено перші п'ять членів суми. Кожен відрізок кривої має довжину Δr і розташований під кутом Δθ =—ω (Δr/с) до попереднього відрізка. Сума перших п'яти доданків позначена стрілкою від початкової точки до кінця п'ятого відрізка. Продовжуючи додавати відрізки, ми опишемо багатокутник, повернемося приблизно до початкової точки і почнемо описувати новий багатокутник. Чим більше число відрізків ми будемо додавати, тим більше число разів ми обернемося, рухаючись майже по колу з радіусом с/ω. Тепер зрозуміло, чому інтеграл дає при обчисленні невизначену відповідь!
Тут ми повинні звернутися до фізичного сенсу нашого прикладу. У будь-якій реальній ситуації площина зарядів не може бути нескінченною, а повинна десь обірватися. Якщо площина різко обривається і її межа має точно форму кола, то наш інтеграл дорівнюватиме певному значенню на цьому колі (див. фіг. 30.11). Якщо ж густина зарядів поступово зменшується в міру віддалення від центру (або перетворюється на нуль поза деякою межею неправильної форми, так що для достатньо великих ρ внесок усього кільця шириною dρ дорівнює нулю), то коефіцієнт η у точному інтегралі спадає, прямуючи до нуля. Оскільки довжина відрізків, що додаються, у цьому випадку зменшується, а кут Δθ залишається тим самим, графік кривої, що відповідає інтегралу, матиме вигляд спіралі. Спіраль закінчується в центрі первісного кола, як зображено на фіг. 30.12. Фізично правильне значення інтеграла дається величиною А, якій на схемі відповідає відстань від початкової точки до центру кола, що дорівнює, як неважко переконатися,
Вираз (30.15) можна розуміти як суму великого числа маленьких комплексних чисел, модуль яких Δr, a кут у комплексній площині θ= –ωr/с. Спробуймо оцінити цю суму графічно. На фіг. 30.11 відкладено перші п'ять членів суми. Кожен відрізок кривої має довжину Δr і розташований під кутом Δθ =—ω (Δr/с) до попереднього відрізка. Сума перших п'яти доданків позначена стрілкою від початкової точки до кінця п'ятого відрізка. Продовжуючи додавати відрізки, ми опишемо багатокутник, повернемося приблизно до початкової точки і почнемо описувати новий багатокутник. Чим більше число відрізків ми будемо додавати, тим більше число разів ми обернемося, рухаючись майже по колу з радіусом с/ω. Тепер зрозуміло, чому інтеграл дає при обчисленні невизначену відповідь!
Тут ми повинні звернутися до фізичного сенсу нашого прикладу. У будь-якій реальній ситуації площина зарядів не може бути нескінченною, а повинна десь обірватися. Якщо площина різко обривається і її межа має точно форму кола, то наш інтеграл дорівнюватиме певному значенню на цьому колі (див. фіг. 30.11). Якщо ж густина зарядів поступово зменшується в міру віддалення від центру (або перетворюється на нуль поза деякою межею неправильної форми, так що для достатньо великих ρ внесок усього кільця шириною dρ дорівнює нулю), то коефіцієнт η у точному інтегралі спадає, прямуючи до нуля. Оскільки довжина відрізків, що додаються, у цьому випадку зменшується, а кут Δθ залишається тим самим, графік кривої, що відповідає інтегралу, матиме вигляд спіралі. Спіраль закінчується в центрі первісного кола, як зображено на фіг. 30.12. Фізично правильне значення інтеграла дається величиною А, якій на схемі відповідає відстань від початкової точки до центру кола, що дорівнює, як неважко переконатися,
Зображення
Точно такий самий результат ми отримали б з (30.16), поклавши e-i∞=0.
(Є ще одна причина, чому внесок в інтеграл від великих значень r прямує до нуля,— це опущений нами множник, що враховує проекцію прискорення на площину, перпендикулярну лінії PQ.)
Нас, звісно, цікавить саме випадок, що має фізичний сенс, тому ми покладемо e–i∞ рівним нулю. Повертаючись до формули (30.12) для поля і вводячи всі опущені раніше множники, ми отримуємо
Зображення
(пам'ятаючи, що 1/i=—i).
Цікаво відзначити, що iωx0eiωt точно дорівнює швидкості зарядів, так що вирази для поля можна переписати у вигляді
Зображення
Цей результат трохи дивний, тому що запізнення відповідає відстані z, яка є найкоротшою відстанню від Р до площини. Але така відповідь, і, на щастя, формула доволі проста. [Додамо до речі, що, хоча формули (30.18) і (30.19) були отримані тільки для достатньо великої відстані від площини, обидві вони виявляються правильними для будь-яких z, навіть для z< λ.]