Результуюче поле n однакових осциляторів

Цей розділ — безпосереднє продовження попереднього, хоча назву «Інтерференція» тут замінено словом «Дифракція». Досі нікому не вдалося задовільно визначити різницю між дифракцією та інтерференцією. Річ тут лише у звичці, а істотної фізичної різниці між цими явищами немає. Єдине, що можна сказати з цього приводу,— ось що: коли джерел мало, наприклад два, то результат їхньої спільної дії зазвичай називають інтерференцією, а якщо джерел багато, то частіше говорять про дифракцію. Тому ми не будемо обтяжувати себе питанням — інтерференція це чи дифракція, а просто продовжимо наше обговорення з того місця, на якому зупинилися в попередньому розділі. Обговорімо тепер випадок, коли є n осциляторів, розташованих на рівних відстанях один від одного, з однаковими амплітудами, але різними фазами створюваних ними полів. Різниця фаз виникає або через вибір певних фазових зсувів коливань осциляторів, або через те, що ми перебуваємо під кутом до осциляторів, унаслідок чого з'являється різниця ходу променів. Незалежно від причини виникнення різниці фаз потрібно обчислити суму такого вигляду:

де φ — різниця фаз сусідніх осциляторів для певного напрямку променів. У цьому окремому випадку φ =α + 2πd 1/λ sin θ. Обчислимо суму R. Для цього скористаємося геометричним способом додавання. Довжина першого доданка А, а його фаза дорівнює нулю; довжина другого також А, а його фаза дорівнює φ. Наступний доданок має знову довжину А і фазу, що дорівнює 2 φ, і т. д. Зрештою утворюється частина правильного багатокутника з n сторонами (фіг. 30.1). Вершини багатокутника лежать, звісно, на колі, і щоб легше було визначити результуючу амплітуду, знайдемо радіус цього кола. Нехай Q — його центр. Тоді кут OQS дорівнює якраз фазі φ (оскільки радіус QS утворює з А₂ такий самий кут, як QO з A₁). Отже, радіус r має задовольняти рівність А = 2r sin φ/2, звідки ми й знаходимо величину r. Далі, великий кут OQT дорівнює nφ; отже, A_R=2 r sin n φ/2. Виключаючи з обох рівностей r, отримуємо

Таким чином, сумарна інтенсивність виявляється рівною

Проаналізуймо цей вираз і обговоримо наслідки, що з нього випливають. Передусім, поклавши n = 1, отримаємо, як і слід було очікувати, I = I₀. Перевіримо формулу для n = 2: за допомогою співвідношення sin φ =2 sin φ/2 cos φ/2 одразу знаходимо A_R = 2 A cos φ/2, що збігається з (29.12). Ми змушені розглядати додавання полів від багатьох джерел тому, що в цьому разі інтенсивність в одному напрямку виходить набагато більшою, ніж у сусідніх, тобто всі побічні максимуми інтенсивності виявляються значно меншими за основний. Щоб зрозуміти цей факт, накреслимо криву, що відповідає виразу (30.3), для великих n і φ, близьких до нуля. Передусім, коли φ точно дорівнює нулю, ми отримуємо відношення 0/0, але насправді для нескінченно малих φ відношення синусів дорівнює n², оскільки синус можна замінити його аргументом. Таким чином, максимум кривої в n² разів більший за інтенсивність одного осцилятора. Цей результат легко зрозуміти, оскільки за нульової різниці фаз усі n маленьких векторів складаються в один вектор, у n разів більший за початковий, а інтенсивність збільшується в n² разів. Зі зростанням фази φ відношення двох синусів спадає й перетворюється на нуль уперше при nφ/2 = π, оскільки sin π = 0. Іншими словами, значення φ = 2 π/n відповідає першому мінімуму кривої (фіг. 30.2). З погляду векторів на фіг. 30.1 перший мінімум виникає тоді, коли стрілки векторів повертаються у вихідну точку, причому повна різниця фаз від першого до останнього осцилятора дорівнює 2π. Перейдімо до наступного максимуму і покажемо, що він дійсно, як ми й очікували, набагато менший за перший. Для точного визначення положення максимуму потрібно враховувати, що і чисельник, і знаменник у (30.3) обидва змінюються зі зміною φ. Ми не робитимемо цього, оскільки за великого n sin φ/2 змінюється повільніше за sin nφ/2, і умова sin nφ/2 = 1 дає положення максимуму з великою точністю. Максимум sin² nφ/2 досягається при nφ/2 =3π/2 або φ = 3π/n. Це означає, що стрілки векторів описують півтора кола. Підставляючи φ=3π/n, отримуємо sin²3π/2 =1 у чисельнику (30.3) (саме з цією метою й було обрано кут φ) і sin²3π/2n у знаменнику. Для достатньо великого n можна замінити синус його аргументом: sin 3π/2n =3π/2n. Звідси інтенсивність у другому максимумі виявляється рівною I = I₀ (4n²/9π²). Але n²I₀ — це не що інше, як інтенсивність у першому максимумі, тобто інтенсивність другого максимуму дорівнює 4/9π²2 від максимальної, що становить 0,047, тобто менше 5%! Решта максимумів, очевидно, будуть ще меншими. Таким чином, виникає дуже вузький основний максимум і дуже слабкі додаткові максимуми по обидва боки від основного. Можна показати, що площа під кривою інтенсивності, включно з усіма максимумами, дорівнює 2πnI₀ і вдвічі перевищує площу пунктирного прямокутника на фіг. 30.2. Подивімося тепер, що дає формула (30.3) у застосуванні до різних випадків. Нехай джерела розташовані на одній лінії, як показано на фіг. 30.3. Всього є n джерел на відстані d одне від одного, і зсув фази між сусідніми джерелами обрано рівним α. Тоді для променів, що поширюються в заданому напрямку θ, який відлічується від нормалі, унаслідок різниці ходу променів від двох сусідніх джерел виникає додатковий зсув фази 2πd 1/λ sinθ. Таким чином,

Розглянемо спочатку випадок α =0. Усі осцилятори коливаються з однією фазою; потрібно знайти інтенсивність їхнього випромінювання як функцію кута θ. Підставимо з цією метою φ=kd sin θ у формулу (30.3) і подивімося, що вийде в результаті. Передусім при φ=0 виникає максимум. Отже, осцилятори, що коливаються з однією фазою, дають потужне випромінювання в напрямку θ =0. Цікаво дізнатися, де розташований перший мінімум. Він виникає при φ=2π/n; іншими словами, перший мінімум кривої інтенсивності визначається із співвідношення (2πd/λ) sin θ =2π/n. Скорочуючи на 2π, отримуємо

Тепер розберімося з фізичного погляду, чому мінімум виникає саме в цьому місці. У цьому виразі nd — це повна довжина L нашої системи осциляторів. Звертаючись до фіг. 30.3, ми бачимо, що nd sin θ =L sin θ=Δ. Формула (30.5) підказує нам, що мінімум виникає при Δ, рівному одній довжині хвилі. Але чому мінімум виходить при Δ = λ? Річ у тім, що поля від окремих осциляторів рівномірно розподілені за фазою від 0 до 360°. Стрілки (див. фіг. 30.1) описують повне коло; ми додаємо рівні вектори, що мають довільні напрямки, а в цьому випадку сума дорівнює нулю. Ось при таких значеннях кута, коли Δ = λ, виникає мінімум. Це і є перший мінімум. Формула (30.3) має ще одну важливу особливість: при збільшенні кута φ на число, кратне 2π, значення інтенсивності не змінюється. Тому для φ=2π, 4π, 6π і т. д. також виникають різкі й високі максимуми. Поблизу цих максимумів інтенсивність повторює свій хід (див. фіг. 30.2). Поставмо запитання, через які геометричні співвідношення виникають інші максимуми? Умова появи максимуму записується у вигляді φ=2πm, де m — будь-яке ціле число. Звідси отримуємо (2πd/λ) sin θ =2πm. Скорочуючи на 2π, отримуємо

Це співвідношення дуже схоже на формулу (30.5). Проте там було nd sin θ =λ. Різниця в тому, що тут потрібно взяти кожне окреме джерело і з'ясувати, що для нього означає умова d sin θ=mλ; кут θ тут такий, що різниця ходу δ = mλ. Іншими словами, хвилі, що йдуть від джерел, відрізняються за фазою на величину, кратну 360°, і, отже, всі перебувають у фазі. Тому при додаванні хвиль виникає такий самий високий максимум, як і в розглянутому раніше випадку m=0. Побічні максимуми і весь хід інтенсивності тут такі самі, як у випадку φ =0. Таким чином, наша система посилає пучки променів у різних напрямках, причому кожен пучок має високий центральний максимум і ряд слабких бічних. Головні (центральні) максимуми залежно від величини m називають максимумами нульового, першого і т. д. порядків; m називають порядком максимуму. Зверніть увагу на такий факт: якщо d менше за λ, то формула (30.6) має єдиний розв'язок при m=0. Тому для малої відстані між джерелами виникає один-єдиний пучок, сконцентрований біля θ=0. (Звісно, є ще пучок у зворотному напрямку.) Щоб отримати максимуми інших порядків, відстань d має бути більшою за одну довжину хвилі.