Розглянемо зараз досить цікаве явище. Нехай є непрозорий лист з отворами, і по один бік від нього розташоване джерело світла. Нас цікавить, яке зображення виникне на екрані по інший бік листа. Кожен скаже, що світло пройде крізь отвори і створить на екрані якесь зображення. Виявляється, що це зображення можна отримати з хорошим ступенем точності, якщо припустити, що джерела світла рівномірно розподілені по ширині отворів, а фази джерел точно такі, якими вони були б, якби непрозорого листа взагалі не було. Джерел в отворах насправді, звісно, немає; у всякому разі, це якраз те місце, де їх напевно не може бути. Тим не менш правильна дифракційна картина виходить, якщо вважати, що джерела розташовані саме в отворах; факт доволі дивний. Пізніше ми пояснимо, чому таке припущення правильне, а поки що приймемо його на віру.
У теорії дифракції є один рід дифракційних явищ, який варто коротко обговорити. Йдеться про дифракцію на непрозорих екранах. Зазвичай в елементарних курсах про них говорять набагато пізніше, оскільки для їх пояснення потрібно використовувати доволі складні формули підсумовування малих векторів. У решті ці явища не відрізняються від уже розглянутих нами. Усі інтерференційні явища по суті однакові; у них не входять якісь особливо складні поняття, тільки умови виникнення можуть бути складнішими, і тоді вектори поля важче складати, ось і все.
Припустімо, що світло приходить з нескінченності, потрапляє на предмет і відкидає від нього тінь. На фіг. 30.7 зображено екран, на який світло відкидає тінь від предмета АВ, причому джерело світла віддалене на відстань, набагато більшу за довжину хвилі.
Здавалося б, поза тінню інтенсивність світла максимальна, а всередині повинна бути повна темрява. Насправді ж, якщо відкладати інтенсивність як функцію відстані до краю тіні, інтенсивність спочатку зростатиме, а потім почне спадати, коливаючись найхимернішим чином поблизу краю тіні (фіг. 30.8). Подивімося, чому це відбувається. Для пояснення скористаємося недоведеною нами теоремою, що замість справжньої картини досліду можна ввести ефективні джерела, рівномірно розподілені поза об'єктом.
Уявімо собі ці ефективні джерела у вигляді великої кількості близько розташованих антен і знайдемо інтенсивність у деякій точці Р. Це дуже схоже на те, чим ми займалися дотепер. Але не зовсім, оскільки наш екран тепер перебуває не на нескінченності. У цьому випадку нас цікавить інтенсивність інтерферуючих променів на скінченній відстані, а не на нескінченності. Інтенсивність у деякій точці дається сумою внесків від кожної антени. Спочатку візьмемо антену в точці D, прямо навпроти Р. Якщо трохи змінити кут, скажімо, піднятися на висоту h, променю знадобиться більше часу, щоб потрапити в точку Р (амплітуда теж зміниться, оскільки відстань до джерела збільшилася, але ця різниця дуже мала, оскільки відстань все одно велика, і набагато менш важлива, ніж зміна фази випромінювання). Далі, різниця ЕР–DP дорівнює h2/2s, тобто різниця фаз пропорційна квадрату віддалення від точки D, тоді як раніше в нас s було нескінченним і різниця фаз була лінійно пов'язана з h. Коли фази залежать від h лінійно, кожен вектор повернутий відносно попереднього на постійний кут. Тепер же ми повинні побудувати криву, додаючи нескінченно малі вектори за умови, що кут, який вони утворюють з віссю абсцис, зростає зі збільшенням довжини кривої не лінійним, а квадратичним чином. Явний вигляд кривої знаходиться за допомогою доволі складних математичних методів, але ми завжди можемо побудувати цю криву, просто відкладаючи вектори під потрібним кутом. Урешті-решт ми отримуємо чудову криву (яку називають спіраллю Корню), зображену на фіг. 30.8. Як нею користуватися?
Нехай потрібно визначити інтенсивність, скажімо, у точці Р.
Складімо хвилі з різними фазами від точки D вгору до нескінченності і вниз від D до точки Вp. Таким чином, потрібно відкласти ряд стрілок під постійно зростаючим кутом, починаючи з точки Вp на фіг. 30.8. Весь внесок від області над Вp дається спіральною кривою. Якби підсумовування закінчувалося в деякій точці, то повна амплітуда була б представлена вектором від Вp до цієї точки; у нашому випадку підсумовування ведеться до нескінченності, так що шукана амплітуда є вектором Вр∞. Точка на кривій, що відповідає точці Вp на предметі, залежить від положення точки Р, тому що точка D кривої (точка перегину) завжди відноситься до обраної точки Р. Отже, залежно від положення Р над В початкова точка, звідки проводиться вектор, потрапляє в різні місця нижньої спіралі, і результуючий вектор Вр∞ має численні максимуми і мінімуми (фіг. 30.9).
Але якщо ми перебуваємо в точці Q, по інший бік від Р, то нам знадобиться лише верхній кінець спіральної кривої. Іншими словами, початковою точкою результуючого вектора буде не D, а ВQ , і, отже, донизу від Р інтенсивність повинна неперервно спадати при віддаленні Q в область тіні. Є одна величина, яку можна легко обчислити одразу і таким чином переконатися, що ми тут щось розуміємо,— це інтенсивність у точці, що лежить прямо навпроти краю. Ця інтенсивність дорівнює 1/4 від інтенсивності падаючого світла. Причина: для точки, що лежить навпроти краю предмета (коли Вp збігається з D на фіг. 30.8), виходить половина кривої на відміну від цілої кривої, яка була б отримана, якби точки лежали достатньо далеко в освітленій області. Якщо точка R розташована достатньо високо, результуючий вектор проводиться від центру однієї спіралі до центру іншої, а для точки на краю тіні амплітуда дорівнює половині цього вектора; отже, відношення інтенсивностей виходить рівним 1/4. У цьому розділі ми обчислювали інтенсивність у різних напрямках при різному розташуванні джерел. На завершення виведемо формулу, яка нам знадобиться в наступному розділі, присвяченому показнику заломлення. Досі ми обходилися лише відносними інтенсивностями, а цього разу ми отримаємо формулу для повної величини поля за умов, про які буде розказано нижче.
Припустімо, що світло приходить з нескінченності, потрапляє на предмет і відкидає від нього тінь. На фіг. 30.7 зображено екран, на який світло відкидає тінь від предмета АВ, причому джерело світла віддалене на відстань, набагато більшу за довжину хвилі.
Здавалося б, поза тінню інтенсивність світла максимальна, а всередині повинна бути повна темрява. Насправді ж, якщо відкладати інтенсивність як функцію відстані до краю тіні, інтенсивність спочатку зростатиме, а потім почне спадати, коливаючись найхимернішим чином поблизу краю тіні (фіг. 30.8). Подивімося, чому це відбувається. Для пояснення скористаємося недоведеною нами теоремою, що замість справжньої картини досліду можна ввести ефективні джерела, рівномірно розподілені поза об'єктом.
Уявімо собі ці ефективні джерела у вигляді великої кількості близько розташованих антен і знайдемо інтенсивність у деякій точці Р. Це дуже схоже на те, чим ми займалися дотепер. Але не зовсім, оскільки наш екран тепер перебуває не на нескінченності. У цьому випадку нас цікавить інтенсивність інтерферуючих променів на скінченній відстані, а не на нескінченності. Інтенсивність у деякій точці дається сумою внесків від кожної антени. Спочатку візьмемо антену в точці D, прямо навпроти Р. Якщо трохи змінити кут, скажімо, піднятися на висоту h, променю знадобиться більше часу, щоб потрапити в точку Р (амплітуда теж зміниться, оскільки відстань до джерела збільшилася, але ця різниця дуже мала, оскільки відстань все одно велика, і набагато менш важлива, ніж зміна фази випромінювання). Далі, різниця ЕР–DP дорівнює h2/2s, тобто різниця фаз пропорційна квадрату віддалення від точки D, тоді як раніше в нас s було нескінченним і різниця фаз була лінійно пов'язана з h. Коли фази залежать від h лінійно, кожен вектор повернутий відносно попереднього на постійний кут. Тепер же ми повинні побудувати криву, додаючи нескінченно малі вектори за умови, що кут, який вони утворюють з віссю абсцис, зростає зі збільшенням довжини кривої не лінійним, а квадратичним чином. Явний вигляд кривої знаходиться за допомогою доволі складних математичних методів, але ми завжди можемо побудувати цю криву, просто відкладаючи вектори під потрібним кутом. Урешті-решт ми отримуємо чудову криву (яку називають спіраллю Корню), зображену на фіг. 30.8. Як нею користуватися?
Нехай потрібно визначити інтенсивність, скажімо, у точці Р.Складімо хвилі з різними фазами від точки D вгору до нескінченності і вниз від D до точки Вp. Таким чином, потрібно відкласти ряд стрілок під постійно зростаючим кутом, починаючи з точки Вp на фіг. 30.8. Весь внесок від області над Вp дається спіральною кривою. Якби підсумовування закінчувалося в деякій точці, то повна амплітуда була б представлена вектором від Вp до цієї точки; у нашому випадку підсумовування ведеться до нескінченності, так що шукана амплітуда є вектором Вр∞. Точка на кривій, що відповідає точці Вp на предметі, залежить від положення точки Р, тому що точка D кривої (точка перегину) завжди відноситься до обраної точки Р. Отже, залежно від положення Р над В початкова точка, звідки проводиться вектор, потрапляє в різні місця нижньої спіралі, і результуючий вектор Вр∞ має численні максимуми і мінімуми (фіг. 30.9).
Але якщо ми перебуваємо в точці Q, по інший бік від Р, то нам знадобиться лише верхній кінець спіральної кривої. Іншими словами, початковою точкою результуючого вектора буде не D, а ВQ , і, отже, донизу від Р інтенсивність повинна неперервно спадати при віддаленні Q в область тіні. Є одна величина, яку можна легко обчислити одразу і таким чином переконатися, що ми тут щось розуміємо,— це інтенсивність у точці, що лежить прямо навпроти краю. Ця інтенсивність дорівнює 1/4 від інтенсивності падаючого світла. Причина: для точки, що лежить навпроти краю предмета (коли Вp збігається з D на фіг. 30.8), виходить половина кривої на відміну від цілої кривої, яка була б отримана, якби точки лежали достатньо далеко в освітленій області. Якщо точка R розташована достатньо високо, результуючий вектор проводиться від центру однієї спіралі до центру іншої, а для точки на краю тіні амплітуда дорівнює половині цього вектора; отже, відношення інтенсивностей виходить рівним 1/4. У цьому розділі ми обчислювали інтенсивність у різних напрямках при різному розташуванні джерел. На завершення виведемо формулу, яка нам знадобиться в наступному розділі, присвяченому показнику заломлення. Досі ми обходилися лише відносними інтенсивностями, а цього разу ми отримаємо формулу для повної величини поля за умов, про які буде розказано нижче.