Розглянемо тепер деякі цікаві наслідки принципу найменшого часу. Перший з них — принцип оборотності. Ми вже знайшли шлях з А в В, що потребує найменшого часу; підемо тепер у зворотному напрямку (вважаючи, що швидкість світла не залежить від напрямку). Найменшому часу відповідає та сама траєкторія, і, отже, якщо світло поширюється по деякому шляху в одному напрямку, воно рухатиметься по цьому шляху і в зворотному напрямку.
Ще один цікавий приклад! На шляху світла під деяким кутом поставлено чотиригранну скляну призму з паралельними гранями. Світло проходить з точки А в В і, зустрівши на своєму шляху призму (фіг. 26.6), відхиляється, причому тривалість шляху в призмі зменшується за рахунок зміни нахилу траєкторії, а шлях у повітрі трохи подовжується. Ділянки траєкторії поза призмою виявляються паралельними одна одній, тому що кути входу і виходу з призми однакові.
Третє цікаве явище полягає в тому, що коли ми дивимося на сонце, що заходить, воно насправді вже перебуває нижче лінії горизонту! Нам здається, що сонце ще над горизонтом, а воно фактично вже зайшло (фіг. 26.7). Річ тут ось у чому. Земна атмосфера вгорі розріджена, а в нижніх шарах густіша. Світло поширюється в повітрі повільніше, ніж у вакуумі, і тому сонячні промені досягнуть якоїсь точки за горизонтом швидше, якщо рухатимуться не по прямій лінії, а по траєкторії з крутішим нахилом у густих шарах атмосфери, скорочуючи в такий спосіб свій шлях у цих шарах.
Ще приклад того самого роду — міраж, який часто спостерігають мандрівники на розжарених сонцем дорогах. Вони бачать на дорозі «воду», а коли під'їжджають туди, навколо виявляється все сухо, як у пустелі! Суть явища ось у чому. Те, що ми бачимо в цьому випадку, — це «відбите» дорогою світло. На фіг. 26.8 показано, як промінь світла, що падає на дорогу, потрапляє нам в око. Чому? Повітря сильно розжарене над самою дорогою, а у верхніх шарах холодніше. Гаряче повітря, розширюючись, стає більш розрідженим, а тому й швидкість світла в ньому більша, ніж у холодному. Іншими словами, світло швидше проходить у теплих шарах, ніж у холодних. Тому світло проходить не по прямій, а йде по траєкторії з найменшим часом, для цього завертаючи в теплі шари повітря, щоб скоротити час. Таким чином, світло йде по кривій.
І ще один приклад. Уявімо собі таку ситуацію, коли все світло, що випромінюється в точці Р, збирається назад в іншу точку Р` (фіг. 26.9). Це означає, звісно, що світло може потрапити з точки Р в Р` по прямій лінії. Це правильно. Але як влаштувати так, щоб світло, яке йде від Р до Q, теж потрапило в Р`? Ми хочемо зібрати все світло знову в одній точці, яку називають фокусом. Як це зробити? Оскільки світло завжди вибирає шлях із найменшим часом, то напевно воно не піде по інших запропонованих нами шляхах. Єдиний спосіб зробити цілий ряд близько розташованих траєкторій прийнятними для світла — це влаштувати так, щоб для всіх час проходження був точно однаковим! У протилежному випадку світло піде по траєкторії, що потребує мінімального часу. Тому задача побудови фокусувальної системи зводиться просто до створення пристрою, в якому світло витрачає на всіх шляхах однаковий час!
Такий пристрій створити просто. Візьмемо шматок скла, в якому світло рухається повільніше, ніж у повітрі (фіг. 26.10). Простежимо шлях променя світла, що проходить у повітрі по лінії PQP`. Цей шлях довший, ніж прямо з Р в Р`, і напевно займає більше часу. Але якщо взяти шматок скла потрібної товщини (пізніше ми обчислимо, якої саме), то шлях у ньому скомпенсує додатковий час, який витрачається при відхиленні променя на траєкторії PQP`. За цих умов можна влаштувати так, щоб час, який витрачає світло на шляху по прямій, збігався з часом, що витрачається на шляху PQP`. Так само, якщо взяти частково відхилений промінь PRR`P` (коротший, ніж PQP`), то доведеться скомпенсувати вже не так багато часу, як для прямолінійної траєкторії, але певну частку часу все ж таки доведеться скомпенсувати. У результаті ми приходимо до форми шматка скла, зображеної на фіг. 26.10. При такій формі все світло з точки Р потрапить у Р`. Усе це нам відомо вже давно, і називається такий пристрій збиральною лінзою. У наступному розділі ми обчислимо, якою має бути форма лінзи, щоб отримати ідеальне фокусування.
Нарешті, останній приклад. Припустимо, що нам потрібно так поставити дзеркало, щоб світло з точки Р завжди приходило в Р` (фіг. 26.11). На будь-якому шляху світло має відбитися від дзеркала, і час для всіх шляхів має бути однаковим. У цьому випадку світло проходить тільки в повітрі, тож час проходження пропорційний довжині шляху. Тому вимога рівності часів зводиться до вимоги рівності повних довжин шляхів. Отже, сума відстаней r1і r2 має залишатися сталою. Еліпс має якраз ту властивість, що сума відстаней будь-якої точки на його кривій від двох заданих точок стала; тому світло, відбившись від дзеркала, що має таку форму, напевно потрапить з одного фокуса в інший.
Цей принцип фокусування слугує для спостереження світла зір. При спорудженні великого 200-дюймового телескопа в обсерваторії Паломар було використано таку ідею. Уявіть собі зорю, віддалену від нас на мільярди кілометрів; ми хочемо зібрати все випромінюване нею світло у фокус. Звісно, ми не можемо накреслити всю траєкторію променів до зорі, проте ми повинні перевірити, наскільки часи на різних траєкторіях рівні. Ми, звісно, знаємо, що якщо безліч різних променів досягла площини КК`, перпендикулярної до напрямку променів, то часи для всіх цих променів будуть рівні (фіг. 26.12). Далі промені мають відбитися від дзеркала і за рівні проміжки часу потрапити у фокус Р`. Це означає, що ми повинні знайти таку криву, для якої сума відстаней XX` + Х`Р` буде сталою, незалежно від вибору точки X. Найлегше це зробити, продовживши відрізок XX` до площини LL`. Вимагатимемо тепер, щоб виконувалися співвідношення А`А"=А`Р`,В`В``=В`Р`,С`С" = С`Р` і т.д.; у цьому випадку ми отримуємо потрібну нам криву, тому що сума довжин А `А +А`Р` = АА` +А`А " буде сталою для всіх точок кривої. Отже, наша крива є геометричним місцем усіх точок, рівновіддалених від лінії й деякої заданої точки. Така крива називається параболою; ось дзеркало телескопа і було виготовлено саме у формі параболи.
Наведені приклади в загальних рисах ілюструють принцип устрою оптичних систем. Точні криві можна розрахувати, використовуючи правило рівності часів на всіх шляхах, що ведуть у точку фокуса, і вимагаючи, щоб час проходження на всіх сусідніх шляхах був більшим.
У наступному розділі ми ще повернемося до фокусувальних оптичних систем, а тепер обговоримо подальший розвиток теорії. Коли пропонується новий фізичний принцип, такий як принцип найменшого часу, то нашою першою природною реакцією могли б бути слова: «Усе це дуже добре, чудово, але питання полягає в тому, чи покращує це взагалі наше розуміння фізики?». На це можна відповісти: «Так. Погляньте, скільки нових фактів ми тепер зрозуміли!» А хтось заперечить: «Ну, у дзеркалах я й так розбираюся. Мені потрібна така крива, щоб кожна дотична до неї площина утворювала рівні кути з двома променями світла. Я можу розрахувати і лінзу, тому що кожен промінь, який падає на неї, відхиляється на кут, що дається законом Снелла». Тут очевидним чином зміст принципу найменшої дії збігається із законом рівності кутів при відбитті та пропорційності синусів кутів при заломленні. Тоді, можливо, це філософське питання, а може, питання просто в тому, який шлях гарніший? Можна навести аргументи на користь обох точок зору.
Однак критерій важливості будь-якого принципу полягає в тому, що він передбачає щось нове.
Легко показати, що принцип Ферма передбачає низку нових фактів. Передусім припустимо, що є три середовища — скло, вода і повітря, і ми спостерігаємо явище заломлення та вимірюємо показник n для переходу з одного середовища в інше. Позначимо через n12 показник заломлення для переходу з повітря (1) у воду (2), а через n13— для переходу з повітря (1) у скло (3). Виміривши заломлення в системі вода-скло, знайдемо ще один показник заломлення і назвемо його n23. Тут заздалегідь немає підстав вважати, що n12, n13 і n23 пов'язані між собою. Якщо ж виходити з принципу найменшого часу, то такий зв'язок можна встановити. Показник n12 є відношенням двох величин — швидкості світла в повітрі до швидкості світла у воді; показник n13 є відношенням швидкості в повітрі до швидкості в склі, а n23 є відношенням швидкості у воді до швидкості в склі. Тому, скорочуючи швидкість світла в повітрі, отримуємо
Ще один цікавий приклад! На шляху світла під деяким кутом поставлено чотиригранну скляну призму з паралельними гранями. Світло проходить з точки А в В і, зустрівши на своєму шляху призму (фіг. 26.6), відхиляється, причому тривалість шляху в призмі зменшується за рахунок зміни нахилу траєкторії, а шлях у повітрі трохи подовжується. Ділянки траєкторії поза призмою виявляються паралельними одна одній, тому що кути входу і виходу з призми однакові.
Третє цікаве явище полягає в тому, що коли ми дивимося на сонце, що заходить, воно насправді вже перебуває нижче лінії горизонту! Нам здається, що сонце ще над горизонтом, а воно фактично вже зайшло (фіг. 26.7). Річ тут ось у чому. Земна атмосфера вгорі розріджена, а в нижніх шарах густіша. Світло поширюється в повітрі повільніше, ніж у вакуумі, і тому сонячні промені досягнуть якоїсь точки за горизонтом швидше, якщо рухатимуться не по прямій лінії, а по траєкторії з крутішим нахилом у густих шарах атмосфери, скорочуючи в такий спосіб свій шлях у цих шарах.
Ще приклад того самого роду — міраж, який часто спостерігають мандрівники на розжарених сонцем дорогах. Вони бачать на дорозі «воду», а коли під'їжджають туди, навколо виявляється все сухо, як у пустелі! Суть явища ось у чому. Те, що ми бачимо в цьому випадку, — це «відбите» дорогою світло. На фіг. 26.8 показано, як промінь світла, що падає на дорогу, потрапляє нам в око. Чому? Повітря сильно розжарене над самою дорогою, а у верхніх шарах холодніше. Гаряче повітря, розширюючись, стає більш розрідженим, а тому й швидкість світла в ньому більша, ніж у холодному. Іншими словами, світло швидше проходить у теплих шарах, ніж у холодних. Тому світло проходить не по прямій, а йде по траєкторії з найменшим часом, для цього завертаючи в теплі шари повітря, щоб скоротити час. Таким чином, світло йде по кривій.
І ще один приклад. Уявімо собі таку ситуацію, коли все світло, що випромінюється в точці Р, збирається назад в іншу точку Р` (фіг. 26.9). Це означає, звісно, що світло може потрапити з точки Р в Р` по прямій лінії. Це правильно. Але як влаштувати так, щоб світло, яке йде від Р до Q, теж потрапило в Р`? Ми хочемо зібрати все світло знову в одній точці, яку називають фокусом. Як це зробити? Оскільки світло завжди вибирає шлях із найменшим часом, то напевно воно не піде по інших запропонованих нами шляхах. Єдиний спосіб зробити цілий ряд близько розташованих траєкторій прийнятними для світла — це влаштувати так, щоб для всіх час проходження був точно однаковим! У протилежному випадку світло піде по траєкторії, що потребує мінімального часу. Тому задача побудови фокусувальної системи зводиться просто до створення пристрою, в якому світло витрачає на всіх шляхах однаковий час!
Такий пристрій створити просто. Візьмемо шматок скла, в якому світло рухається повільніше, ніж у повітрі (фіг. 26.10). Простежимо шлях променя світла, що проходить у повітрі по лінії PQP`. Цей шлях довший, ніж прямо з Р в Р`, і напевно займає більше часу. Але якщо взяти шматок скла потрібної товщини (пізніше ми обчислимо, якої саме), то шлях у ньому скомпенсує додатковий час, який витрачається при відхиленні променя на траєкторії PQP`. За цих умов можна влаштувати так, щоб час, який витрачає світло на шляху по прямій, збігався з часом, що витрачається на шляху PQP`. Так само, якщо взяти частково відхилений промінь PRR`P` (коротший, ніж PQP`), то доведеться скомпенсувати вже не так багато часу, як для прямолінійної траєкторії, але певну частку часу все ж таки доведеться скомпенсувати. У результаті ми приходимо до форми шматка скла, зображеної на фіг. 26.10. При такій формі все світло з точки Р потрапить у Р`. Усе це нам відомо вже давно, і називається такий пристрій збиральною лінзою. У наступному розділі ми обчислимо, якою має бути форма лінзи, щоб отримати ідеальне фокусування.
Нарешті, останній приклад. Припустимо, що нам потрібно так поставити дзеркало, щоб світло з точки Р завжди приходило в Р` (фіг. 26.11). На будь-якому шляху світло має відбитися від дзеркала, і час для всіх шляхів має бути однаковим. У цьому випадку світло проходить тільки в повітрі, тож час проходження пропорційний довжині шляху. Тому вимога рівності часів зводиться до вимоги рівності повних довжин шляхів. Отже, сума відстаней r1і r2 має залишатися сталою. Еліпс має якраз ту властивість, що сума відстаней будь-якої точки на його кривій від двох заданих точок стала; тому світло, відбившись від дзеркала, що має таку форму, напевно потрапить з одного фокуса в інший.
Цей принцип фокусування слугує для спостереження світла зір. При спорудженні великого 200-дюймового телескопа в обсерваторії Паломар було використано таку ідею. Уявіть собі зорю, віддалену від нас на мільярди кілометрів; ми хочемо зібрати все випромінюване нею світло у фокус. Звісно, ми не можемо накреслити всю траєкторію променів до зорі, проте ми повинні перевірити, наскільки часи на різних траєкторіях рівні. Ми, звісно, знаємо, що якщо безліч різних променів досягла площини КК`, перпендикулярної до напрямку променів, то часи для всіх цих променів будуть рівні (фіг. 26.12). Далі промені мають відбитися від дзеркала і за рівні проміжки часу потрапити у фокус Р`. Це означає, що ми повинні знайти таку криву, для якої сума відстаней XX` + Х`Р` буде сталою, незалежно від вибору точки X. Найлегше це зробити, продовживши відрізок XX` до площини LL`. Вимагатимемо тепер, щоб виконувалися співвідношення А`А"=А`Р`,В`В``=В`Р`,С`С" = С`Р` і т.д.; у цьому випадку ми отримуємо потрібну нам криву, тому що сума довжин А `А +А`Р` = АА` +А`А " буде сталою для всіх точок кривої. Отже, наша крива є геометричним місцем усіх точок, рівновіддалених від лінії й деякої заданої точки. Така крива називається параболою; ось дзеркало телескопа і було виготовлено саме у формі параболи.
Наведені приклади в загальних рисах ілюструють принцип устрою оптичних систем. Точні криві можна розрахувати, використовуючи правило рівності часів на всіх шляхах, що ведуть у точку фокуса, і вимагаючи, щоб час проходження на всіх сусідніх шляхах був більшим.
У наступному розділі ми ще повернемося до фокусувальних оптичних систем, а тепер обговоримо подальший розвиток теорії. Коли пропонується новий фізичний принцип, такий як принцип найменшого часу, то нашою першою природною реакцією могли б бути слова: «Усе це дуже добре, чудово, але питання полягає в тому, чи покращує це взагалі наше розуміння фізики?». На це можна відповісти: «Так. Погляньте, скільки нових фактів ми тепер зрозуміли!» А хтось заперечить: «Ну, у дзеркалах я й так розбираюся. Мені потрібна така крива, щоб кожна дотична до неї площина утворювала рівні кути з двома променями світла. Я можу розрахувати і лінзу, тому що кожен промінь, який падає на неї, відхиляється на кут, що дається законом Снелла». Тут очевидним чином зміст принципу найменшої дії збігається із законом рівності кутів при відбитті та пропорційності синусів кутів при заломленні. Тоді, можливо, це філософське питання, а може, питання просто в тому, який шлях гарніший? Можна навести аргументи на користь обох точок зору.
Однак критерій важливості будь-якого принципу полягає в тому, що він передбачає щось нове.
Легко показати, що принцип Ферма передбачає низку нових фактів. Передусім припустимо, що є три середовища — скло, вода і повітря, і ми спостерігаємо явище заломлення та вимірюємо показник n для переходу з одного середовища в інше. Позначимо через n12 показник заломлення для переходу з повітря (1) у воду (2), а через n13— для переходу з повітря (1) у скло (3). Виміривши заломлення в системі вода-скло, знайдемо ще один показник заломлення і назвемо його n23. Тут заздалегідь немає підстав вважати, що n12, n13 і n23 пов'язані між собою. Якщо ж виходити з принципу найменшого часу, то такий зв'язок можна встановити. Показник n12 є відношенням двох величин — швидкості світла в повітрі до швидкості світла у воді; показник n13 є відношенням швидкості в повітрі до швидкості в склі, а n23 є відношенням швидкості у воді до швидкості в склі. Тому, скорочуючи швидкість світла в повітрі, отримуємо
Зображення
Іншими словами, ми передбачаємо, що показник заломлення для переходу з одного матеріалу в інший можна отримати з показників заломлення кожного матеріалу стосовно деякого середовища, скажімо повітря або вакууму. Таким чином, виміривши швидкість світла в усіх середовищах, ми утворюємо одне число для кожного середовища — показник заломлення для переходу з вакууму в середовище — і називаємо його ni (наприклад, ni для повітря є відношенням швидкості в повітрі до швидкості у вакуумі і т. д.), після чого легко написати потрібну формулу. Показник заломлення для будь-яких двох матеріалів i і j дорівнює
Зображення
Використовуючи тільки закон Снелла, подібне співвідношення передбачити неможливо. Але цей зв'язок існує. Співвідношення (26.5) відоме давно і слугувало сильним аргументом на користь принципу найменшого часу.
Ще одне передбачення принципу найменшого часу полягає в тому, що швидкість світла у воді при вимірюванні має виявитися меншою за швидкість світла в повітрі. Це вже передбачення зовсім іншого роду. Воно набагато глибше, тому що має теоретичний характер і ніяк не пов'язане зі спостереженнями, з яких Ферма вивів принцип найменшого часу (досі ми мали справу тільки з кутами). Як виявилося, швидкість світла у воді справді менша за швидкість у повітрі, і рівно настільки, щоб вийшов правильний показник заломлення.