Поле, що випромінюється середовищем

Тепер ми маємо з'ясувати, чи має поле осцилюючих зарядів у пластинці той самий вигляд, що й поле Е_a у другому члені (31.8). Якщо це так, то тим самим ми знайдемо і показник заломлення n [оскільки n — єдиний фактор у (31.8), що не виражається через фундаментальні величини]. Повернімося тепер до обчислення поля Е_a , створюваного зарядами пластинки. (Для зручності ми виписали в табл. 31.1 позначення, якими ми вже користувалися, і ті, що знадобляться нам надалі.)

Якщо джерело S (на фіг. 31.1) знаходиться зліва на достатньо великій відстані, то поле E_s має однакову фазу по всій довжині пластинки, і поблизу пластинки його можна записати у вигляді

На самій пластинці в точці z = 0 маємо

Це електричне поле діє на кожен електрон в атомі, і вони під дією електричної сили qE коливатимуться вгору і вниз (якщо Е₀ спрямоване вертикально). Щоб знайти характер руху електронів, уявімо атоми у вигляді маленьких осциляторів, тобто нехай електрони пружно з'єднані з атомом; це означає, що зміщення електронів з нормального положення під дією сили пропорційне величині сили. Якщо ви чули про модель атома, в якій електрони обертаються по орбіті навколо ядра, то ця модель атома видасться вам просто смішною. Але це лише спрощена модель. Точна теорія атома, заснована на квантовій механіці, стверджує, що в процесах за участю світла електрони поводяться так, ніби вони закріплені на пружинах. Отже, припустімо, що на електрони діє лінійна повертальна сила, і тому вони поводяться як осцилятори з масою m і резонансною частотою ω₀. Ми вже вивчали такі осцилятори і знаємо рівняння руху, якому вони підпорядковуються:

(тут F — зовнішня сила). У нашому випадку зовнішня сила створюється електричним полем хвилі джерела, тому можна написати

де q_e—заряд електрона, а як E_s ми взяли значення E_s = E₀e^iωt з рівняння (31.10). Рівняння руху електрона набуває вигляду

Розв'язок цього рівняння, знайдений нами раніше, виглядає так:

підставляючи його в (31.13), отримуємо

звідки

Ми знайшли те, що хотіли, — рух електронів у пластинці. Він однаковий для всіх електронів, і лише середнє положення («нуль» руху) у кожного електрона своє. Тепер ми можемо визначити поле Е_a, створюване атомами в точці Р, оскільки поле зарядженої площини було знайдено ще раніше (наприкінці розд. 30). Звертаючись до рівняння (30.19), бачимо, що поле Е_a в точці Р є швидкістю заряду, запізнілою за часом на величину z/с, помноженою на від'ємну сталу. Диференціюючи х із (31.16), отримуємо швидкість і, ввівши запізнення [або ж просто підставляючи х₀ з (31.15) в (30.18)], приходимо до формули

Як і слід було очікувати, вимушене коливання електронів призвело до нової хвилі, що поширюється праворуч (на це вказує множник exp [iω(t—z/c)]); амплітуда хвилі пропорційна числу атомів на одиниці площі пластинки (множник η), а також амплітуді поля джерела (Е₀). Крім того, виникають й інші величини, що залежать від властивостей атомів (q_e, m , ω₀). Найважливіший момент, однак, полягає в тому, що формула (31.17) для Е_a дуже схожа на вираз Е_a в (31.8), отриманий нами за допомогою введення запізнення в середовищі з показником заломлення n. Обидва вирази збігаються, якщо покласти

Зауважте, що обидві частини цієї рівності пропорційні Δz, оскільки η — число атомів на одиницю площі — дорівнює NΔz, де N — число атомів на одиницю об'єму пластинки. Підставляючи NΔz замість η і скорочуючи на Δz, отримуємо наш основний результат — формулу для показника заломлення, виражену через сталі, що залежать від властивостей атомів, і частоту світла:

Ця формула «пояснює» показник заломлення, до чого ми й прагнули.