Дисперсія. Як виникає показник заломлення. Фейнманівські лекції з фізики

Отриманий нами результат дуже цікавий. Він дає не лише показник заломлення, виражений через атомні сталі, а й показує, як змінюється показник заломлення з частотою світла ω. За допомогою простого твердження «світло рухається з меншою швидкістю в прозорому середовищі» ми ніколи не змогли б прийти до цієї важливої властивості. Потрібно, звісно, ще знати число атомів в одиниці об'єму і власну частоту атомів ω₀. Ми ще не вміємо визначати ці величини, оскільки вони різні для різних матеріалів, а загальну теорію з цього питання ми зараз викласти не можемо. Загальна теорія властивостей різних речовин — їхніх власних частот тощо — формулюється на основі квантової механіки. Крім того, властивості різних матеріалів і величина показника заломлення сильно змінюються від матеріалу до матеріалу, тому навряд чи можна сподіватися, що взагалі вдасться отримати загальну формулу, придатну для всіх речовин. Тим не менш спробуємо застосувати нашу формулу до різних середовищ. Насамперед для більшості газів (наприклад, для повітря, більшості безбарвних газів, водню, гелію тощо) власні частоти коливань електронів відповідають ультрафіолетовому світлу. Ці частоти набагато більші за частоти видимого світла, тобто ω₀ набагато більше ω, і в першому наближенні можна знехтувати ω² порівняно з ω₀². Тоді показник заломлення виходить майже сталим. Отже, для газів показник заломлення можна вважати сталою. Цей висновок справедливий також і для більшості інших прозорих середовищ, наприклад для скла. Придивившись уважніше до нашого виразу, можна помітити, що при збільшенні ω знаменник зменшується, а отже, показник заломлення зростає. Таким чином, n повільно зростає зі збільшенням частоти. Для синього світла показник заломлення більший, ніж для червоного. Саме тому сині промені сильніше відхиляються призмою, ніж червоні. Сам факт залежності показника заломлення від частоти називається дисперсією, оскільки саме через дисперсію світло «диспергує», розкладається призмою у спектр. Формула, що виражає показник заломлення як функцію частоти, називається формулою дисперсії. Отже, ми знайшли дисперсійну формулу. (За останні кілька років «дисперсійні формули» стали використовуватися в теорії елементарних частинок.) Наша дисперсійна формула передбачає низку нових цікавих ефектів. Якщо частота ω₀ лежить в області видимого світла або якщо вимірювати показник заломлення речовини, наприклад скла, для ультрафіолетових променів (де ω близьке до ω₀), то знаменник прямує до нуля, а показник заломлення стає дуже великим. Нехай, далі, ω більше за ω₀. Такий випадок виникає, наприклад, якщо опромінювати речовини типу скла рентгенівськими променями. Крім того, багато речовин, непрозорих для звичайного світла (скажімо, вугілля), прозорі для рентгенівських променів, тому можна говорити про показник заломлення цих речовин для рентгенівських променів. Власні частоти атомів вуглецю набагато менші за частоту рентгенівських променів. Показник заломлення в цьому випадку дається нашою дисперсійною формулою, якщо покласти ω₀=0 (тобто ми нехтуємо ω₀² порівняно з ω²). Аналогічний результат виходить при опроміненні газу вільних електронів радіохвилями (або світлом). У верхніх шарах атмосфери ультрафіолетове випромінювання Сонця вибиває електрони з атомів, унаслідок чого утворюється газ вільних електронів. Для вільних електронів ω₀ =0 (пружної повертальної сили немає). Поклавши в нашій дисперсійній формулі ω₀ =0, отримуємо розумну формулу для показника заломлення радіохвиль у стратосфері, де N тепер означає густину вільних електронів (число на одиницю об'єму) у стратосфері. Але, як видно з формули, при опроміненні речовини рентгенівськими променями або електронного газу радіохвилями член (ω₀²—ω²) стає від'ємним, звідки випливає, що n менше одиниці. Це означає, що ефективна швидкість електромагнітних хвиль у речовині більша за с! Чи може так бути? Може. Хоча ми й говорили, що сигнали не можуть поширюватися швидше за швидкість світла, тим не менш показник заломлення при деякій частоті може бути як більшим, так і меншим за одиницю. Це просто означає, що зсув фази за рахунок розсіювання світла або додатний, або від'ємний. Крім того, можна показати, що швидкість сигналу визначається показником заломлення не при одному значенні частоти, а при багатьох частотах. Показник заломлення вказує на швидкість руху гребеня хвилі. Але гребінь хвилі ще не становить сигналу. Чиста хвиля без жодних модуляцій, тобто така, що складається з нескінченно повторюваних правильних осциляцій, не має «початку», і її не можна використати для посилання сигналів часу. Щоб надіслати сигнал, хвилю потрібно видозмінити, зробити на ній позначку, тобто зробити її десь товщою, а десь тоншою. Тоді хвиля міститиме не одну частоту, а цілий ряд частот, і можна показати, що швидкість поширення сигналу залежить не від одного значення показника заломлення, а від характеру зміни показника з частотою. Ми поки що відкладемо це питання. У розд. 48 (вип. 4) ми обчислимо швидкість поширення сигналів у склі і переконаємося, що вона не перевищує швидкості світла, хоча гребені хвилі (поняття суто математичні) рухаються швидше за швидкість світла. Кілька слів про механізм цього явища. Головна складність тут пов'язана з тим фактом, що вимушений рух зарядів протилежний за знаком напрямку поля. Дійсно, у виразі (31.16) для зміщення заряду x множник (ω₀² – ω²) від'ємний для малих ω₀ і зміщення має протилежний знак відносно зовнішнього поля. Виходить, що коли поле діє з деякою силою в одному напрямку, заряд рухається в протилежному напрямку. Як так сталося, що заряд почав рухатися в бік, протилежний силі? Насправді, при увімкненні поля заряд рухається не протилежно силі. Одразу після увімкнення поля виникає перехідний режим, потім коливання встановлюються, і лише після цього коливання зарядів спрямовані протилежно зовнішньому полю. Водночас результуюче поле починає випереджати за фазою поле джерела. Коли ми говоримо, що «фазова швидкість», або швидкість гребенів хвилі, більша за с, ми маємо на увазі саме випередження за фазою.

На фіг. 31.4 показано приблизний вигляд хвиль, що виникають при різкому увімкненні хвилі джерела (тобто при посиланні сигналу).
З малюнка видно, що для хвилі, яка проходить у середовищі з випередженням за фазою, сигнал (тобто початок хвилі) не випереджає за часом сигнал джерела. Звернімося тепер знову до дисперсійної формули. Слід пам'ятати, що отриманий нами результат дещо спрощує справжню картину явища. Щоб бути точними, у формулу необхідно внести деякі поправки. Насамперед у нашу модель атомного осцилятора слід ввести згасання (інакше осцилятор, раз почавши, коливатиметься до нескінченності, що неправдоподібно). Рух згасаючого осцилятора ми вже вивчали в одній з попередніх глав [див. рівняння (23.8)]. Врахування згасання приводить до того, що у формулах (31.16), а тому й у (31.19), замість (ω₀² – ω²) з'являється (ω₀² – ω² + iγω), де γ — коефіцієнт згасання. Друга поправка до нашої формули виникає через те, що кожен атом зазвичай має кілька резонансних частот. Тоді замість одного виду осциляторів потрібно врахувати дію кількох осциляторів з різними резонансними частотами, коливання яких відбуваються незалежно одне від одного, і скласти внески від усіх осциляторів. Нехай в одиниці об'єму міститься N_k електронів із власною частотою ω_k і коефіцієнтом згасання γ_k. Наша дисперсійна формула набуде в результаті вигляду