Ми вже говорили, що світло у воді рухається повільніше, ніж у повітрі, а в повітрі трохи повільніше, ніж у вакуумі. Цей факт враховується введенням показника заломлення n. Спробуємо тепер зрозуміти, як виникає зменшення швидкості світла. Зокрема, особливо важливо простежити зв'язок цього факту з деякими фізичними припущеннями чи законами, які були раніше висловлені і зводяться до такого:
а) повне електричне поле за будь-яких фізичних умов може бути подане у вигляді суми полів від усіх зарядів у Всесвіті;
б) поле випромінювання кожного окремого заряду визначається його прискоренням; прискорення береться з урахуванням запізнення, що виникає через скінченну швидкість поширення, завжди рівну с.
Але ви, напевно, одразу наведете як приклад шматок скла і вигукнете: «Дурниця, це положення тут не годиться. Треба говорити, що запізнення відповідає швидкості с/n». Однак це неправильно; спробуємо розібратися, чому це неправильно. Спостерігачеві здається, що світло чи будь-яка інша електрична хвиля поширюється крізь речовину з показником заломлення n зі швидкістю с/n. І це з деякою точністю справді так. Але насправді поле створюється рухом усіх зарядів, включно із зарядами, що рухаються в середовищі, а всі складові частини поля, всі його доданки поширюються з максимальною швидкістю с. Наше завдання полягає в тому, щоб зрозуміти, як виникає ця вдавана менша швидкість.
Спробуємо зрозуміти це явище на дуже простому прикладі. Нехай джерело (назвемо його «зовнішнім джерелом») розміщене на великій відстані від тонкої прозорої пластинки, скажімо скляної. Нас цікавить поле по інший бік пластинки і достатньо далеко від неї. Усе це схематично показано на фіг. 31.1; точки S і Р тут вважаються віддаленими на велику відстань від площини. Згідно зі сформульованими нами принципами, електричне поле далеко від пластинки подається (векторною) сумою полів зовнішнього джерела (у точці S) і полів усіх зарядів у скляній пластинці, причому кожне поле береться із запізненням при швидкості с. Нагадаємо, що поле кожного заряду не змінюється від присутності інших зарядів. Це наші основні принципи. Таким чином, поле в точці Р можна записати у вигляді
а) повне електричне поле за будь-яких фізичних умов може бути подане у вигляді суми полів від усіх зарядів у Всесвіті;
б) поле випромінювання кожного окремого заряду визначається його прискоренням; прискорення береться з урахуванням запізнення, що виникає через скінченну швидкість поширення, завжди рівну с.
Але ви, напевно, одразу наведете як приклад шматок скла і вигукнете: «Дурниця, це положення тут не годиться. Треба говорити, що запізнення відповідає швидкості с/n». Однак це неправильно; спробуємо розібратися, чому це неправильно. Спостерігачеві здається, що світло чи будь-яка інша електрична хвиля поширюється крізь речовину з показником заломлення n зі швидкістю с/n. І це з деякою точністю справді так. Але насправді поле створюється рухом усіх зарядів, включно із зарядами, що рухаються в середовищі, а всі складові частини поля, всі його доданки поширюються з максимальною швидкістю с. Наше завдання полягає в тому, щоб зрозуміти, як виникає ця вдавана менша швидкість.
Спробуємо зрозуміти це явище на дуже простому прикладі. Нехай джерело (назвемо його «зовнішнім джерелом») розміщене на великій відстані від тонкої прозорої пластинки, скажімо скляної. Нас цікавить поле по інший бік пластинки і достатньо далеко від неї. Усе це схематично показано на фіг. 31.1; точки S і Р тут вважаються віддаленими на велику відстань від площини. Згідно зі сформульованими нами принципами, електричне поле далеко від пластинки подається (векторною) сумою полів зовнішнього джерела (у точці S) і полів усіх зарядів у скляній пластинці, причому кожне поле береться із запізненням при швидкості с. Нагадаємо, що поле кожного заряду не змінюється від присутності інших зарядів. Це наші основні принципи. Таким чином, поле в точці Р можна записати у вигляді
Зображення
або
Зображення
де Es — поле зовнішнього джерела; воно збігалося б із шуканим полем у точці Р, якби не було пластинки. Ми очікуємо, що за наявності будь-яких рухомих зарядів поле в точці Р відрізнятиметься від Еs .
Звідки беруться рухомі заряди у склі? Відомо, що будь-який предмет складається з атомів, що містять електрони. Електричне поле зовнішнього джерела діє на ці атоми і розхитує електрони туди й сюди. Електрони, своєю чергою, створюють поле; їх можна розглядати як нові випромінювачі. Нові випромінювачі пов'язані з джерелом S, оскільки саме поле джерела змушує їх коливатися. Повне поле містить внесок не лише від джерела S, а й додаткові внески від випромінювання всіх рухомих зарядів. Це означає, що поле за наявності скла змінюється, причому таким чином, що всередині скла його швидкість поширення здається іншою. Саме цю ідею ми використаємо при кількісному розгляді.
Однак точний розрахунок дуже складний, бо наше твердження, що заряди відчувають лише дію джерела, не зовсім правильне. Кожен даний заряд «відчуває» не тільки джерело, а й, подібно до будь-якого об'єкта у Всесвіті, відчуває і всі інші рухомі заряди, зокрема й заряди, що коливаються у склі. Тому повне поле, яке діє на даний заряд, є сукупністю полів від усіх інших зарядів, рух яких, своєю чергою, залежить від руху даного заряду! Ви бачите, що виведення точної формули потребує розв'язання складної системи рівнянь. Ця система дуже складна, і ви вивчатимете її значно пізніше.
А зараз звернемося до зовсім простого прикладу, щоб чітко зрозуміти прояв усіх фізичних принципів. Припустімо, що дія всіх інших атомів на даний атом мала порівняно з дією джерела. Іншими словами, ми вивчаємо таке середовище, в якому повне поле мало змінюється через рух зарядів, що містяться в ньому. Така ситуація характерна для матеріалів із показником заломлення, дуже близьким до одиниці, наприклад для розріджених середовищ. Наші формули будуть справедливі для всіх матеріалів із показником заломлення, близьким до одиниці. Таким шляхом ми зможемо уникнути труднощів, пов'язаних із розв'язанням повної системи рівнянь.
Ви могли попутно помітити, що рух зарядів у пластинці спричиняє ще один ефект. Цей рух створює хвилю, що поширюється назад у напрямку джерела S. Така хвиля, що рухається у зворотному напрямку, є не чим іншим, як променем світла, відбитим прозорим матеріалом. Приходить він не лише з поверхні. Відбите випромінювання генерується в усіх точках всередині матеріалу, але сумарний ефект еквівалентний відбиттю від поверхні. Врахування відбиття лежить за межами застосовності цього наближення, в якому показник заломлення вважається настільки близьким до одиниці, що відбитим випромінюванням можна знехтувати.
Перш ніж перейти до вивчення показника заломлення, слід підкреслити, що в основі явища заломлення лежить той факт, що вдавана швидкість поширення хвилі різна в різних матеріалах. Відхилення променя світла є наслідком зміни ефективної швидкості в різних матеріалах.
Щоб пояснити цей факт, ми позначили на фіг. 31.2 ряд послідовних максимумів в амплітуді хвилі, що падає з вакууму на скло. Стрілка, перпендикулярна до вказаних максимумів, позначає напрямок поширення хвилі. Всюди в хвилі коливання відбуваються з однією й тією самою частотою. (Ми бачили, що вимушені коливання мають ту саму частоту, що й коливання джерела.) Звідси випливає, що відстані між максимумами хвиль по обидва боки поверхні збігаються вздовж самої поверхні, оскільки хвилі тут мають бути узгоджені, а заряд на поверхні коливається з однією частотою. Найменша відстань між гребенями хвиль є довжиною хвилі, що дорівнює швидкості, поділеній на частоту. У вакуумі довжина хвилі дорівнює λ0=2πс/ω, а в склі λ=2πν/ω або 2πс/ωn, де ν=c/n— швидкість хвилі. Як видно з фіг. 31.2, єдиний спосіб «зшити» хвилі на межі полягає у зміні напрямку руху хвилі в матеріалі. Просте геометричне міркування показує, що умова «зшивання» зводиться до рівності λ0/sin θ0 =λ/sin θ, або sin θ0/sin θ =n, а це і є закон Снелла. Нехай зараз вас більше не хвилює саме відхилення світла; потрібно лише з'ясувати, чому ж насправді ефективна швидкість світла в матеріалі з показником заломлення n дорівнює с/n? Повернімося знову до фіг. 31.1. Зі сказаного зрозуміло, що потрібно обчислити поле в точці Р від осцилюючих зарядів скляної пластинки. Позначимо цю частину поля, яка подається другим членом у рівності (31.2), через Еa. Додаючи до неї поле джерела Es, отримуємо повне поле в точці Р. Задача, що стоїть перед нами тут, мабуть, найскладніша з тих, якими ми займатимемося цього року, але її складність полягає лише у великій кількості доданків, що додаються; кожен член сам по собі дуже простий. На відміну від інших випадків, коли ми зазвичай казали: «Забудь виведення і дивись лише на результат!», тепер для нас виведення набагато важливіше за результат. Іншими словами, потрібно зрозуміти всю фізичну «кухню», за допомогою якої обчислюється показник заломлення. Щоб зрозуміти, з чим ми маємо справу, знайдемо, яким має бути «поправкове поле» Еa, щоб повне поле в точці Р виглядало як поле джерела, що сповільнилося при проходженні крізь скляну пластинку. Якби пластинка ніяк не впливала на поле, хвиля поширювалася б праворуч (уздовж осі z) за законом
Перш ніж перейти до вивчення показника заломлення, слід підкреслити, що в основі явища заломлення лежить той факт, що вдавана швидкість поширення хвилі різна в різних матеріалах. Відхилення променя світла є наслідком зміни ефективної швидкості в різних матеріалах.Щоб пояснити цей факт, ми позначили на фіг. 31.2 ряд послідовних максимумів в амплітуді хвилі, що падає з вакууму на скло. Стрілка, перпендикулярна до вказаних максимумів, позначає напрямок поширення хвилі. Всюди в хвилі коливання відбуваються з однією й тією самою частотою. (Ми бачили, що вимушені коливання мають ту саму частоту, що й коливання джерела.) Звідси випливає, що відстані між максимумами хвиль по обидва боки поверхні збігаються вздовж самої поверхні, оскільки хвилі тут мають бути узгоджені, а заряд на поверхні коливається з однією частотою. Найменша відстань між гребенями хвиль є довжиною хвилі, що дорівнює швидкості, поділеній на частоту. У вакуумі довжина хвилі дорівнює λ0=2πс/ω, а в склі λ=2πν/ω або 2πс/ωn, де ν=c/n— швидкість хвилі. Як видно з фіг. 31.2, єдиний спосіб «зшити» хвилі на межі полягає у зміні напрямку руху хвилі в матеріалі. Просте геометричне міркування показує, що умова «зшивання» зводиться до рівності λ0/sin θ0 =λ/sin θ, або sin θ0/sin θ =n, а це і є закон Снелла. Нехай зараз вас більше не хвилює саме відхилення світла; потрібно лише з'ясувати, чому ж насправді ефективна швидкість світла в матеріалі з показником заломлення n дорівнює с/n? Повернімося знову до фіг. 31.1. Зі сказаного зрозуміло, що потрібно обчислити поле в точці Р від осцилюючих зарядів скляної пластинки. Позначимо цю частину поля, яка подається другим членом у рівності (31.2), через Еa. Додаючи до неї поле джерела Es, отримуємо повне поле в точці Р. Задача, що стоїть перед нами тут, мабуть, найскладніша з тих, якими ми займатимемося цього року, але її складність полягає лише у великій кількості доданків, що додаються; кожен член сам по собі дуже простий. На відміну від інших випадків, коли ми зазвичай казали: «Забудь виведення і дивись лише на результат!», тепер для нас виведення набагато важливіше за результат. Іншими словами, потрібно зрозуміти всю фізичну «кухню», за допомогою якої обчислюється показник заломлення. Щоб зрозуміти, з чим ми маємо справу, знайдемо, яким має бути «поправкове поле» Еa, щоб повне поле в точці Р виглядало як поле джерела, що сповільнилося при проходженні крізь скляну пластинку. Якби пластинка ніяк не впливала на поле, хвиля поширювалася б праворуч (уздовж осі z) за законом
Зображення
або, використовуючи експоненційний запис,
Зображення
А що сталося б, якби хвиля проходила крізь пластинку з меншою швидкістю? Нехай товщина пластинки є Δz. Якби пластинки не було, то хвиля пройшла б відстань Δz за час Δz/c. А оскільки вдавана швидкість поширення є с/n, то знадобиться час nΔz/c, тобто більше на деякий додатковий час, що дорівнює Δt=(n—1)Δz/c. За пластинкою хвиля знову рухається зі швидкістю с. Врахуємо додатковий час на проходження крізь пластинку, замінивши t в рівнянні (31.4) на (t—Δt), тобто [t— (n-1) Δz/c]. Таким чином, якщо поставити пластинку, то формула для хвилі має набути вигляду
Зображення
Цю формулу можна переписати ще й по-іншому:
Зображення
звідки робимо висновок, що поле за пластинкою виходить множенням поля, яке було б за відсутності пластинки (тобто Es), на exp [ –iω (n—1) Δz/c]. Як ми знаємо, множення осцилюючої функції типу еiωt на eiθ означає зміну фази коливань на кут θ, що виникає через затримку при проходженні пластинки. Фаза запізнюється на величину ω (n—1) Δz/c (саме запізнюється, оскільки в експоненті стоїть знак мінус).
Ми говорили раніше, що пластинка додає поле Еa до початкового поля Es=E0exp [iω (t — z/c)], а натомість знайшли, що дія пластинки зводиться до множення поля на фактор, який зсуває фазу коливань. Однак тут немає суперечності, оскільки той самий результат можна отримати, додавши відповідне комплексне число. Це число особливо просто знайти для малих Δz, оскільки еx при малих х з великою точністю дорівнює (1 +х). Тоді можна записати
Зображення
Підставляючи цю рівність у (31.6), отримуємо
Зображення
Перший член у цьому виразі є просто полем джерела, а другий слід прирівняти до Еa — поля, створюваного осцилюючими зарядами пластинки праворуч від неї. Поле Еa виражене тут через показник заломлення n; воно, зрозуміло, залежить від напруженості поля джерела.
Зміст зроблених перетворень найлегше зрозуміти за допомогою діаграми комплексних чисел (див. фіг. 31.3). Відкладемо спершу Es (z і t обрані на малюнку такими, що Es лежить на дійсній осі, але це не обов'язково). Затримка при проходженні пластинки призводить до запізнення фази Es, тобто повертає Es на від'ємний кут. Це все одно, що додати малий вектор Еa, спрямований майже під прямим кутом до Es. Саме такий зміст має множник (—i) у другому члені (31.8). Він означає, що за дійсного Es величина Еa від'ємна й уявна, а в загальному випадку Es і Ea утворюють прямий кут.
Зміст зроблених перетворень найлегше зрозуміти за допомогою діаграми комплексних чисел (див. фіг. 31.3). Відкладемо спершу Es (z і t обрані на малюнку такими, що Es лежить на дійсній осі, але це не обов'язково). Затримка при проходженні пластинки призводить до запізнення фази Es, тобто повертає Es на від'ємний кут. Це все одно, що додати малий вектор Еa, спрямований майже під прямим кутом до Es. Саме такий зміст має множник (—i) у другому члені (31.8). Він означає, що за дійсного Es величина Еa від'ємна й уявна, а в загальному випадку Es і Ea утворюють прямий кут.