Енергія світлової хвилі

Як ми бачили, уявна частина показника заломлення характеризує поглинання. Спробуємо тепер обчислити енергію, яку переносить світлова хвиля. Ми висловили міркування на користь того, що енергія світлової хвилі пропорційна Е², середньому за часом від квадрата електричного поля хвилі. Ослаблення електричного поля за рахунок поглинання хвилі має призводити до втрати енергії, що переходить у якесь тертя електронів і врешті-решт, як неважко здогадатися, у тепло. Взявши частину світлової хвилі, що падає на одиничну площадку, наприклад на квадратний сантиметр поверхні нашої пластинки на фіг. 31.1, можна записати енергетичний баланс у такій формі (ми припускаємо, що енергія зберігається!):

Замість першого члена можна написати α E_s², де α — коефіцієнт пропорційності, що пов'язує середнє значення Е² з енергією, яку переносить хвиля. У другому члені необхідно врахувати поле випромінювання атомів середовища, тобто ми маємо записати α (E_s + Е_a)² або (розкладаючи квадрат суми) α(E_s² + 2E_sЕ_a + Е_a²). Усі наші обчислення проводилися в припущенні, що товщина шару матеріалу мала, а його показник заломлення незначно відрізняється від одиниці, тоді Е_a виявляється набагато меншим за E_s (це було зроблено з єдиною метою — спростити обчислення). У рамках нашого наближення член Е_a² слід відкинути, нехтуючи ним порівняно з E_sE_a. Ви можете на це заперечити: «Тоді потрібно відкинути й E_sE_a, бо цей член набагато менший за E_s²». Справді, E_sE_a набагато менший за Е_s², але якщо ми відкинемо цей член, то отримаємо наближення, в якому ефекти середовища взагалі не враховуються! Правильність наших обчислень у рамках зробленого наближення перевіряється тим, що ми всюди залишали члени, пропорційні —NΔz (густині атомів у середовищі), але відкидали члени порядку (NΔz)² і вищих степенів NΔz. Наше наближення можна було б назвати «наближенням малої густини». Зауважимо, до речі, що наше рівняння балансу енергії не містить енергії відбитої хвилі. Але так і має бути, бо амплітуда відбитої хвилі пропорційна NΔz, а енергія пропорційна (NΔz)². Щоб знайти останній член у (31.23), потрібно обчислити роботу, яку виконує падаюча хвиля над електронами за 1 с. Робота, як відомо, дорівнює силі, помноженій на відстань; звідси робота за одиницю часу (яку також називають потужністю) дається добутком сили на швидкість. Точніше, вона дорівнює F·v, але в нашому випадку сила і швидкість мають однаковий напрямок, тому добуток векторів зводиться до звичайного (з точністю до знака). Отже, робота, що виконується за 1 с над кожним атомом, дорівнює q_eE_sν. Оскільки на одиничну площадку припадає NΔz атомів, останній член у рівнянні (31.23) виявляється рівним NΔzq_eE_sν. Рівняння балансу енергії набуває вигляду

Члени αE_s² скорочуються, і ми отримуємо

Повертаючись до рівняння (30.19), знаходимо Е_a для великих z:

(нагадаємо, що η=NΔz). Підставляючи (31.26) в ліву частину рівності (31.25), отримуємо

Але E_s (в точці z) дорівнює E_s (в точці атома) із запізненням на z/c. Оскільки середнє значення не залежить від часу, воно не зміниться, якщо часовий аргумент запізнюється на z/c, тобто воно дорівнює Е_s (в точці атома)·ν, але таке саме середнє значення стоїть і в правій частині (31.25). Обидві частини (31.25) будуть рівні, якщо виконується співвідношення

Таким чином, якщо справедливий закон збереження енергії, то кількість енергії електричної хвилі, яка припадає на одиничну площадку за одиницю часу (те, що ми називаємо інтенсивністю), має дорівнювати ε₀c Е². Позначивши інтенсивність через S, отримаємо

де риска означає середнє за часом. З нашої теорії показника заломлення вийшов чудовий результат!