Розглянемо спочатку найпростіший приклад заломлювальної поверхні, що розділяє два середовища з різними показниками заломлення (фіг. 27.2). Випадок довільних показників нехай читач розбере самостійно; нам важливо розповісти про ідею, а задача досить проста, і її можна розв'язати в будь-якому окремому випадку. Отже, нехай ліворуч швидкість світла дорівнює 1, а праворуч 1/n, де n — показник заломлення. Світло в склі йде повільніше в n разів.
Тепер уявімо собі точку О на відстані s від лицьової поверхні скла та іншу точку О` на відстані s` усередині скла і спробуємо вибрати криву поверхню так, щоб кожен промінь, що вийшов з О і потрапив на поверхню в Р, приходив у точку О`. Для цього потрібно надати поверхні такої форми, щоб сума часу проходження світла на шляху від О до Р (тобто відстань ОР, поділена на швидкість світла, що дорівнює одиниці) плюс n·О`Р, тобто час на шляху від Р до О`, була сталою величиною, що не залежить від положення точки Р. Ця умова дає рівняння для визначення поверхні. У результаті виходить досить складна поверхня четвертого порядку (читач може обчислити її для власного задоволення за допомогою аналітичної геометрії). Простіше розглянути спеціальний випадок s→∞, коли крива виходить другого порядку і її легше визначити. Цікаво порівняти цю криву з кривою для фокусувального дзеркала (коли світло приходило з нескінченності), яка, як ви пам'ятаєте, виявилася параболою.
Отже, потрібну поверхню зробити нелегко; щоб сфокусувати світло з однієї точки в іншу, потрібна досить складна поверхня. Практично такі складні поверхні навіть не намагаються створювати, а користуються компромісним рішенням. Ми не будемо збирати всі промені у фокус, а зберемо тільки промені, достатньо близькі до осі 00`. Раз ідеальна форма поверхні настільки складна, візьмемо замість неї сферичну поверхню, яка має потрібну кривину саме біля осі, а далекі промені нехай відхиляються від осі, якщо вони того хочуть. Сферу виготовити набагато простіше, ніж інші поверхні, тому виберемо сферу і розглянемо поведінку променів, що падають на сферичну поверхню. Вимагатимемо точного фокусування тільки для тих променів, що проходять поблизу осі. Іноді ці промені називають параксіальними, а наше завдання — знайти умови фокусування параксіальних променів. Пізніше ми обговоримо похибки, пов'язані з відхиленням променів від осі.
Отже, вважаючи, що Р близько до осі, опустимо перпендикуляр РQ довжиною h. Якби наша поверхня була площиною, що проходить через Р, то час, витрачений на шлях від О до Р, перевищував би час на шлях від О до Q, а час на шлях від Р до О` перевищував би час від Q до О`. Поверхня скла повинна бути кривою, тому що тільки в цьому випадку весь надлишок часу компенсується затримкою при проходженні шляху від V до Q! Далі, надлишок часу на шляху ОР є h2/2s, а надлишок часу на відрізку О`Р є nh2/2s`. Цей зайвий час, який повинен компенсуватися часом на шляху VQ, накопичується на шляху в середовищі, а не у вакуумі. Іншими словами, час на шляху VQ у n разів більший за відповідний час у вакуумі, а тому зайвий час на цьому відрізку є (n—1)VQ. Ну, а якою є довжина VQ? Якщо С є центр сфери з радіусом R, то за допомогою вже знайомої нам формули виводимо, що довжина VQ є h2/2R. У результаті ми отримуємо закон, який пов'язує довжини s і s` і визначає радіус кривини R шуканої поверхні:
Зображення
або
Зображення
Якщо ми хочемо сфокусувати світло з точки О в точку О`, то ця формула дозволяє обчислити потрібний радіус кривини поверхні.
Цікаво, що та сама лінза з таким самим радіусом кривини R фокусуватиме і на інших відстанях, тобто вона є фокусувальною для будь-якої пари відстаней, для яких сума оберненої величини однієї відстані та оберненої величини іншої, помноженої на n, є сталим числом. Таким чином, дана лінза (якщо враховувати тільки параксіальні промені) є фокусувальною не тільки для точок О і О`, а й для нескінченного числа пар точок, якщо ці пари задовольняють співвідношення 1/s+n/s` = стала, що характеризує дану лінзу.
Становить інтерес окремий випадок s→∞. З формули видно, що при збільшенні s інша відстань s` зменшується. Іншими словами, коли точка O віддаляється, точка O` наближається, і навпаки. Коли точка О йде на нескінченність, точка О` також рухається всередині скла аж до відстані, яку називають фокусною відстанню f`. Якщо на лінзу падає паралельний пучок променів, він збереться в лінзі на відстані f`. Можна поставити питання й по-іншому. (Згадаємо правило оборотності: якщо світло переходить з О в О`, воно, звісно, може рухатися й у зворотному напрямку, з О` в О.) Таким чином, якщо джерело світла перебуває всередині скла, то може виникнути питання: де промені зберуться у фокус? Зокрема, якщо джерело всередині скла перебуває на нескінченності (та сама задача, що й раніше), то де буде фокус поза лінзою? Цю відстань позначають через f. Можна, звісно, сказати і по-іншому. Якщо джерело розташоване на відстані f, то промені, проходячи крізь поверхню лінзи, вийдуть паралельним пучком. Легко визначити f і f`:
Зображення
Зображення
Зазначимо цікавий факт: якщо ми поділимо кожну фокусну відстань на відповідний показник заломлення, то отримаємо один і той самий результат! Насправді це загальна теорема. Вона справедлива для будь-якої складної системи лінз, тому її варто запам'ятати. Ми не довели цю теорему в загальному вигляді, а лише відзначили її застосовність для однієї поверхні, однак виявляється, що взагалі дві фокусні відстані деякої системи пов'язані подібним чином. Іноді вираз (27.3) записують у такому вигляді:
Зображення
Така форма зручніша, ніж (27.3), тому що простіше виміряти f, ніж кривину і показник заломлення лінзи. Якщо нам не потрібно самим конструювати лінзу чи вивчати в подробицях увесь процес, а достатньо дістати лінзу з полиці, то нас цікавитиме тільки величина f, а не n чи R!
Цікава ситуація виникає, коли s стає меншим за f. Що ж тоді відбувається? При s<f обернена величина (1/s) більша за (1/f), і тому s` від'ємна. Наша формула стверджує, що світло фокусується тільки при від'ємному значенні s`,— розумійте як хочете! Але означає це щось цілком певне й цікаве. Ця формула залишається корисною і для від'ємних значень. Що вона означає, ясно з фіг. 27.3. Промені, що виходять з точки О, заломлюються на поверхні, але у фокус не збираються, оскільки точка О розташована надто близько до поверхні, і промені стають «більш ніж паралельними». Проте вони починають розходитися так, ніби вийшли з точки О` поза лінзою. Ця точка є позірним зображенням, або, як іноді кажуть, уявним зображенням. Зображення О` на фіг. 27.2 називається дійсним зображенням. Дійсне зображення виникає, коли світло дійсно проходить крізь точку. Але якщо здається, що світло виходить з деякої фіктивної точки, яка збігається з дійсним джерелом, то ця точка і є уявне зображення. Отже, для від'ємних s` точка О` перебуває по інший бік поверхні, і все стає на свої місця.
Розглянемо тепер цікавий випадок, коли R=∞; за цих умов (1/s)+(n/s`) = 0. Іншими словами, s`=-ns, що означає, що якщо з густого середовища дивитися на якусь точку в розрідженому середовищі, то вона здаватиметься далі в n разів. Ми можемо прочитати наше рівняння і навпаки: при погляді на об'єкт, що перебуває в густому середовищі за плоскою поверхнею розділу, нам здаватиметься, що він розташований до нас ближче, ніж насправді (фіг. 27.4). Коли ми дивимося згори на дно плавального басейну, він здається нам мілкішим у ¾ раза, ніж він є насправді; ця цифра є оберненою величиною показника заломлення води.
Тепер ми могли б перейти до сферичного дзеркала. Але якщо вникнути в зміст сказаного нами раніше, то цілком можна розібрати це питання самостійно. Тому нехай читач сам виведе формули для сферичного дзеркала, але для цього корисно прийняти такі умови:
1) відстань до об'єкта s додатна, якщо точка О
розташована ліворуч від поверхні;
2) відстань до зображення s` додатна, якщо точка
О` розташована праворуч від поверхні;
3) радіус кривини поверхні додатний, якщо центр
перебуває праворуч від поверхні.
Наприклад, на фіг. 27.2 s, s` і R додатні; на фіг. 27.3 s і R додатні, а s` від'ємна. Для увігнутої поверхні наша формула (27.3) залишається справедливою, якщо вважати R від'ємною величиною. Користуючись наведеними умовами, можна вивести відповідну формулу і для дзеркала, поклавши в (27.3) n=–1
(як якби середовище за дзеркалом мало показник заломлення — 1), і тоді вийде правильний результат!
Ми вивели формулу (27.3) простим і елегантним способом, виходячи з принципу найменшого часу; ту саму формулу можна, звичайно, отримати за допомогою закону Снелла, якщо врахувати, що кути малі, і замінити синуси самими кутами.
Цікава ситуація виникає, коли s стає меншим за f. Що ж тоді відбувається? При s<f обернена величина (1/s) більша за (1/f), і тому s` від'ємна. Наша формула стверджує, що світло фокусується тільки при від'ємному значенні s`,— розумійте як хочете! Але означає це щось цілком певне й цікаве. Ця формула залишається корисною і для від'ємних значень. Що вона означає, ясно з фіг. 27.3. Промені, що виходять з точки О, заломлюються на поверхні, але у фокус не збираються, оскільки точка О розташована надто близько до поверхні, і промені стають «більш ніж паралельними». Проте вони починають розходитися так, ніби вийшли з точки О` поза лінзою. Ця точка є позірним зображенням, або, як іноді кажуть, уявним зображенням. Зображення О` на фіг. 27.2 називається дійсним зображенням. Дійсне зображення виникає, коли світло дійсно проходить крізь точку. Але якщо здається, що світло виходить з деякої фіктивної точки, яка збігається з дійсним джерелом, то ця точка і є уявне зображення. Отже, для від'ємних s` точка О` перебуває по інший бік поверхні, і все стає на свої місця.
Розглянемо тепер цікавий випадок, коли R=∞; за цих умов (1/s)+(n/s`) = 0. Іншими словами, s`=-ns, що означає, що якщо з густого середовища дивитися на якусь точку в розрідженому середовищі, то вона здаватиметься далі в n разів. Ми можемо прочитати наше рівняння і навпаки: при погляді на об'єкт, що перебуває в густому середовищі за плоскою поверхнею розділу, нам здаватиметься, що він розташований до нас ближче, ніж насправді (фіг. 27.4). Коли ми дивимося згори на дно плавального басейну, він здається нам мілкішим у ¾ раза, ніж він є насправді; ця цифра є оберненою величиною показника заломлення води.
Тепер ми могли б перейти до сферичного дзеркала. Але якщо вникнути в зміст сказаного нами раніше, то цілком можна розібрати це питання самостійно. Тому нехай читач сам виведе формули для сферичного дзеркала, але для цього корисно прийняти такі умови:1) відстань до об'єкта s додатна, якщо точка О
розташована ліворуч від поверхні;
2) відстань до зображення s` додатна, якщо точка
О` розташована праворуч від поверхні;
3) радіус кривини поверхні додатний, якщо центр
перебуває праворуч від поверхні.
Наприклад, на фіг. 27.2 s, s` і R додатні; на фіг. 27.3 s і R додатні, а s` від'ємна. Для увігнутої поверхні наша формула (27.3) залишається справедливою, якщо вважати R від'ємною величиною. Користуючись наведеними умовами, можна вивести відповідну формулу і для дзеркала, поклавши в (27.3) n=–1
(як якби середовище за дзеркалом мало показник заломлення — 1), і тоді вийде правильний результат!
Ми вивели формулу (27.3) простим і елегантним способом, виходячи з принципу найменшого часу; ту саму формулу можна, звичайно, отримати за допомогою закону Снелла, якщо врахувати, що кути малі, і замінити синуси самими кутами.