Волновое уравнение

Итак, физические явления, происходящие в звуковой волне, обладают следующими тремя свойствами:
I. Газ движется, и плотность его меняется.
II. При изменении плотности меняется и давление.
III. Неравномерное распределение давления вызывает движение газа.
Рассмотрим сначала свойство II. Для любого газа, жидкости или твердого тела давление является функцией плотности. До прихода звуковой волны мы имели равновесное состояние с давлением P₀ и плотностью ρ₀. Давление P зависит от плотности среды: Р=f(ρ), и в частности равновесное давление Р₀=f(ρ₀). Отклонения величины давления от равновесного в звуковой волне очень малы. Давление удобно измерять в барах (1 бар = 10⁵н/м²). Давление в одну стандартную атмосферу приблизительно равно 1 бар (1 атм = 1,0133 бар). Для звука обычно используется логарифмическая шкала интенсивности, так как восприятие уха, грубо говоря, растет логарифмически. В этой децибельной шкале уровень звукового давления I связан с амплитудой звукового давления:

где давление отнесено к некоторому стандартному давлению Р_отн=2*10^-10 бар.
 
Звуковое давление Р=10³ Р_отн=2*10^-7 бар соответствует довольно сильному звуку в 60 дб. Мы видим, что давление меняется в звуковой волне на очень малую величину по сравнению с равновесным или средним, равным 1 атм. Смещение и перепады плотности также очень малы. При взрывах, однако, изменения уже не столь малы; избыточное звуковое давление может превышать 1 атм. Такие большие перепады давления приводят к новым явлениям, которые мы рассмотрим позже. В звуковых волнах уровень силы звука выше 100 дб встречается редко; уровень силы звука в 120 дб уже вызывает боль в ушах. Поэтому, написав для звуковой волны

можно считать, что изменение давления P_u очень мало по сравнению с P₀, а изменение плотности ρ_u очень мало по сравнению с ρ₀. Тогда

где Р₀ = f (ρ₀) и f(ρ₀) — производная от f(ρ), взятая при значении ρ = ρ₀. Второе равенство здесь возможно только потому, что ρ_u очень мало. Таким образом, мы находим, что избыточное давление P_u пропорционально избыточной плотности ρ_u; коэффициент пропорциональности обозначается через μ:

Это весьма простое соотношение и составляет точное содержание свойства II.
Перейдем теперь к свойству I. Предположим, что положение элемента объема воздуха, не возмущенного звуковой волной, есть x, а звук смещает его в момент времени t на величину χ(x, t), так что его новое положение есть x+χ (x, t), как показано на фиг. 47.3. Далее, положение соседнего элемента объема есть x+Δx, и его смещенное положение есть x + Δх + χ (х + Δх, t). Теперь можно найти изменение плотности. Поскольку мы рассматриваем плоскую волну, удобно взять единичную площадку, перпендикулярную оси x, т. е. направлению распространения волны. Количество воздуха, приходящееся на единичную площадку в интервале Δх, есть ρ₀Δх, где ρ₀ —невозмущенная, или равновесная, плотность воздуха. Эта порция воздуха, смещенная звуковой волной, будет находиться теперь между x+χ (x, t) и x + Δх + χ (х + Δх, t), причем количество воздуха в этом интервале то же самое, что в интервале Δх до прихода волны. Если через ρ обозначить новую плотность, то

Поскольку Δx мало, можно написать χ(x+Δx, t) — χ(x, t)  =(дχ/дх) Δx. Здесь уже появляется частная производная, потому что χ зависит и от х, и от времени. Наше уравнение принимает вид

Но в звуковой волне все изменения малы, так что ρ_u мало, χ мало и дχ/дх тоже мало. Поэтому в уравнении, которое мы только что написали,

можно пренебречь   ρ_u(dy/dx)   по сравнению с   ρ₀(dχ/dx).   Так мы  приходим     к    соотношению,      которое      требовалось согласно свойству I:

Именно такой вид уравнения можно было ожидать из чисто физических соображений. Если смещение различно для разных x, плотность будет изменяться. Знак тоже правильный: если смещение χ растет с ростом x, так что воздух расширяется, плотность должна уменьшаться.
 
Теперь нам нужно найти третье уравнение — уравнение движения, производимого избытком давления. Зная соотношение между силой и давлением, можно получить уравнение движения. Возьмем объем воздуха толщиной Δx и с единичной площадью грани, перпендикулярной x, тогда масса воздуха в этом объеме есть ρ₀Δx, а ускорение воздуха есть dχ/dt², так что масса, умноженная на ускорение для этого слоя, есть ρ₀Δx(д²χ/dt²). (Если Δx мало, то безразлично, где брать ускорение — на краю слоя или где-нибудь посредине.) Сила, действующая на единичную площадку нашего слоя, перпендикулярную оси x, должна быть равна ρ₀Δx(д²χ/dt²). В точке x мы имеем силу P(x, t), действующую на единицу площади в направлении +x, а в точке x+Δх возникает сила в обратном направлении, по величине равная P(x+Δх, t) (фиг. 47.4):

Мы учли, что Δx мало и что только избыточное давление P_u меняется в зависимости от x. Итак, согласно свойству III мы получаем

Теперь уже уравнений достаточно, чтобы увязать все величины и привести к одной переменной, скажем x. Можно выразить P_u в (47.11) с помощью (47.4):

а затем исключить   р_u   с  помощью   (I). Тогда ρ₀ сократится и у нас  останется

Это и есть волновое уравнение, которое описывает распространение звука в среде.