Хвильове рівняння

Отже, фізичні явища, що відбуваються в звуковій хвилі, мають такі три властивості:
I. Газ рухається, і його густина змінюється.
II. При зміні густини змінюється і тиск.
III. Нерівномірний розподіл тиску спричиняє рух газу.
Розглянемо спочатку властивість II. Для будь-якого газу, рідини або твердого тіла тиск є функцією густини. До приходу звукової хвилі ми мали рівноважний стан з тиском P₀ і густиною ρ₀. Тиск P залежить від густини середовища: Р=f(ρ), і зокрема рівноважний тиск Р₀=f(ρ₀). Відхилення величини тиску від рівноважного в звуковій хвилі дуже малі. Тиск зручно вимірювати в барах (1 бар = 10⁵н/м²). Тиск в одну стандартну атмосферу приблизно дорівнює 1 бар (1 атм = 1,0133 бар). Для звуку зазвичай використовується логарифмічна шкала інтенсивності, оскільки сприйняття вуха, грубо кажучи, зростає логарифмічно. У цій децибельній шкалі рівень звукового тиску I пов'язаний з амплітудою звукового тиску:

де тиск віднесено до деякого стандартного тиску Р_відн=2*10^-10 бар.
 
Звуковий тиск Р=10³ Р_відн=2*10^-7 бар відповідає доволі сильному звуку в 60 дб. Ми бачимо, що тиск змінюється в звуковій хвилі на дуже малу величину порівняно з рівноважним або середнім, що дорівнює 1 атм. Зміщення і перепади густини також дуже малі. При вибухах, однак, зміни вже не такі малі; надлишковий звуковий тиск може перевищувати 1 атм. Такі великі перепади тиску призводять до нових явищ, які ми розглянемо пізніше. У звукових хвилях рівень сили звуку вище 100 дб трапляється рідко; рівень сили звуку в 120 дб уже спричиняє біль у вухах. Тому, написавши для звукової хвилі

можна вважати, що зміна тиску P_u дуже мала порівняно з P₀, а зміна густини ρ_u дуже мала порівняно з ρ₀. Тоді

де Р₀ = f (ρ₀) і f(ρ₀) — похідна від f(ρ), взята при значенні ρ = ρ₀. Друга рівність тут можлива лише тому, що ρ_u дуже мала. Таким чином, ми знаходимо, що надлишковий тиск P_u пропорційний надлишковій густині ρ_u; коефіцієнт пропорційності позначається через μ:

Це доволі просте співвідношення і становить точний зміст властивості II.
Перейдемо тепер до властивості I. Припустімо, що положення елемента об'єму повітря, не збуреного звуковою хвилею, є x, а звук зміщує його в момент часу t на величину χ(x, t), так що його нове положення є x+χ (x, t), як показано на фіг. 47.3. Далі, положення сусіднього елемента об'єму є x+Δx, і його зміщене положення є x + Δх + χ (х + Δх, t). Тепер можна знайти зміну густини. Оскільки ми розглядаємо плоску хвилю, зручно взяти одиничну площадку, перпендикулярну до осі x, тобто до напрямку поширення хвилі. Кількість повітря, що припадає на одиничну площадку в інтервалі Δх, є ρ₀Δх, де ρ₀ —незбурена, або рівноважна, густина повітря. Ця порція повітря, зміщена звуковою хвилею, перебуватиме тепер між x+χ (x, t) і x + Δх + χ (х + Δх, t), причому кількість повітря в цьому інтервалі та сама, що в інтервалі Δх до приходу хвилі. Якщо через ρ позначити нову густину, то

Оскільки Δx мале, можна написати χ(x+Δx, t) — χ(x, t)  =(дχ/дх) Δx. Тут уже з'являється часткова похідна, тому що χ залежить і від х, і від часу. Наше рівняння набуває вигляду

Але в звуковій хвилі всі зміни малі, так що ρ_u мале, χ мале і дχ/дх теж мале. Тому в рівнянні, яке ми щойно написали,

можна знехтувати   ρ_u(dy/dx)   порівняно з   ρ₀(dχ/dx).   Так ми  приходимо     до    співвідношення,      яке      вимагалося згідно з властивістю I:

Саме такого вигляду рівняння й можна було очікувати з суто фізичних міркувань. Якщо зміщення різне для різних x, густина змінюватиметься. Знак теж правильний: якщо зміщення χ зростає зі зростанням x, так що повітря розширюється, густина повинна зменшуватися.
 
Тепер нам треба знайти третє рівняння — рівняння руху, зумовленого надлишком тиску. Знаючи співвідношення між силою і тиском, можна отримати рівняння руху. Візьмемо об'єм повітря завтовшки Δx і з одиничною площею грані, перпендикулярної x, тоді маса повітря в цьому об'ємі є ρ₀Δx, а прискорення повітря є dχ/dt², так що маса, помножена на прискорення для цього шару, є ρ₀Δx(д²χ/dt²). (Якщо Δx мале, то байдуже, де брати прискорення — на краю шару чи десь посередині.) Сила, що діє на одиничну площадку нашого шару, перпендикулярну до осі x, повинна дорівнювати ρ₀Δx(д²χ/dt²). У точці x ми маємо силу P(x, t), що діє на одиницю площі в напрямку +x, а в точці x+Δх виникає сила у зворотному напрямку, за величиною рівна P(x+Δх, t) (фіг. 47.4):

Ми врахували, що Δx мале і що лише надлишковий тиск P_u змінюється залежно від x. Отже, згідно з властивістю III ми отримуємо

Тепер уже рівнянь достатньо, щоб пов'язати всі величини і звести до однієї змінної, скажімо x. Можна виразити P_u в (47.11) за допомогою (47.4):

а потім виключити   р_u   за  допомогою   (I). Тоді ρ₀ скоротиться і в нас  залишиться

Це і є хвильове рівняння, яке описує поширення звуку в середовищі.