Швидкість звуку

При виведенні хвильового рівняння для звуку ми отримали формулу, яка пов'язує при нормальному тиску швидкість руху хвилі і відносну зміну тиску з густиною:

Щоб оцінити швидкість зміни тиску, дуже важливо знати, як при цьому змінюється температура. Можна очікувати, що в місцях згущення звукової хвилі температура підвищиться, а в місцях розрідження — понизиться. Ньютон першим обчислив швидкість зміни тиску з густиною, припустивши, що температура при цьому не змінюється. Він вважав, що тепло передається з однієї області звукової хвилі в іншу так швидко, що температура змінитися не встигне. Спосіб Ньютона дає ізотермічну швидкість звуку, що неправильно. Правильне обчислення було зроблено пізніше Лапласом, який вважав, всупереч Ньютону, що тиск і температура в звуковій хвилі змінюються адіабатично. Потік тепла з області згущення в область розрідження нехтовно малий, якщо тільки довжина хвилі велика порівняно з довжиною вільного пробігу. За цих умов незначна витрата тепла в звуковій хвилі не впливає на швидкість звуку, хоча й призводить до невеликого поглинання звукової енергії. Ми можемо, природно, очікувати, що поглинання тепла посилиться, коли довжина хвилі наблизиться до довжини вільного пробігу, але такі довжини хвиль приблизно в мільйон разів менші за довжину хвилі чутного звуку.
 
Отже, для звуку істинна швидкість зміни тиску з густиною повинна обчислюватися без урахування відводу тепла. Це відповідає адіабатичній зміні тиску, для якої ми знайшли, що PV^γ=const, де V — об'єм. Оскільки густина р обернено пропорційна об'єму, зв'язок P і ρ для адіабатичних процесів дається співвідношенням

Можна ще написати с²_s = γPV/ρV і використати співвідношення PV = NkT. Ми бачимо, крім того, що pV є масою газу, яку можна записати як Nm або μ, де m — маса молекули, а μ — молекулярна вага. Таким чином, знаходимо

звідки видно, що швидкість звуку залежить лише від температури газу і не залежить від тиску або густини. Ми вже відзначали, що

де <v²> — середня квадратична швидкість молекул. Звідси випливає, що с²_s = γ/3<v²>, або

Ця рівність означає, що швидкість звуку є середньою швидкістю молекул повітря (точніше, квадратним коренем із середньої квадратичної швидкості), помноженою на деяке число, грубо кажучи, на 1/(3)^1/2. Іншими словами, вона того самого порядку величини, що й швидкість молекул, але насправді дещо менша за середню швидкість молекул.
 
Загалом ми могли це очікувати, тому що таке збурення, як зміна густини, передається зрештою рухом молекул. Однак міркування такого роду не підказують нам точного значення швидкості; могло ж виявитися, що звук переноситься найшвидшими або найповільнішими молекулами. Розумно і вельми втішно, що швидкість звуку виявилася рівною приблизно половині середньої молекулярної швидкості.