Згасаючі коливання

Повернімося до основної теми — перехідних розв'язків. Перехідними розв'язками називаються розв'язки диференціального рівняння, що відповідають ситуації, коли зовнішня сила не діє, але система тим не менш не перебуває у спокої. (Звісно, найкраще розв'язувати задачу, коли сила не діє, а система спочиває, спочиває — та й нехай собі спочиває!) Коливання, що відповідають перехідним розв'язкам, можна викликати так: змусити силу попрацювати, а потім вимкнути її. Що тоді станеться з осцилятором? Спершу подумаємо, як поводитиметься система з дуже великою Q. Якщо сила діяла довго, то запасена енергія була сталою, і робота витрачалася лише на те, щоб її підтримувати. Припустімо тепер, що ми вимкнули силу, тоді тертю, яке раніше поглинало енергію постачальника, живитися більше нічим — годувальника-бо немає. І тертя починає пожирати запасену осцилятором енергію. Нехай добротність системи Q/2π = 1000. Це означає, що робота, виконана за цикл, дорівнює 1/1000 запасеної енергії. Мабуть, розумно припустити, що при коливаннях, не підтримуваних зовнішньою силою, за кожен цикл втрачатиметься одна тисячна частина енергії, наявної на початок циклу. Вважатимемо, що при великих Q зміна енергії описується вгаданим нами наближеним рівнянням (ми ще повернемося до цього рівняння і зробимо його цілком правильним!)

Це рівняння наближене, бо воно справедливе лише для великих Q. За кожен радіан система втрачає 1/Q частину запасеної енергії Е. Отже, за проміжок часу dt енергія зменшиться у ωdt/Q разів (частота з'являється при перекладі радіанів у справжні секунди). А яка це частота? Припустімо, що система влаштована дуже жорстко, тому навіть при дії сили вона скільки-небудь помітно коливається лише на своїй власній частоті. Тому вважатимемо, що ω — це резонансна частота ω₀. Таким чином, з рівняння (24.8) випливає, що запасена енергія змінюється так:

Тепер нам відоме значення енергії в будь-який момент. Якою буде наближена формула, що визначає амплітуду коливань як функцію часу? Такою самою? Ні! Потенціальна енергія пружини змінюється як квадрат зміщення, кінетична енергія — як квадрат швидкості; це приводить до того, що повна енергія пропорційна квадрату зміщення. Таким чином, зміщення (амплітуда коливань) зменшуватиметься з половинною швидкістю. Іншими словами, ми очікуємо, що розв'язок у випадку згасаючого перехідного руху виглядатиме як коливання з частотою, близькою до резонансної частоти ω₀; амплітуда цього коливання зменшуватиметься як exp(—γt/2)

Ця формула і фіг. 24.1 дають уявлення про те, чого слід очікувати, а тепер перейдімо до точного аналізу руху, тобто до розв'язання диференціального рівняння руху.

Як же розв'язати рівняння (24.1), якщо викинути з нього зовнішню силу? Будучи фізиками, нас цікавить не стільки метод, скільки сам розв'язок. Оскільки ми люди вже досвідчені, спробуємо подати розв'язок у вигляді експоненційної кривої, х=Аexp(iαt). (Чому ми так вчинили? Тому що експоненту найлегше диференціювати!) Підставимо цей вираз у (24.1), пам'ятаючи, що кожне диференціювання x за часом зводиться до множення на iα [нагадаємо, що F(t)=0]. Зробити це дуже легко, і наше рівняння набуде вигляду

Ліва частина рівності має дорівнювати нулю весь час, але це можливо лише у двох випадках: а) А=0, проте це навіть не розв'язок: адже тоді все спочиває, або б)

Якщо ми зможемо розв'язати це рівняння і знайти α, то ми знайдемо і розв'язок, амплітуда якого А не обов'язково дорівнює нулю!

Щоб не думати про те, як добути квадратний корінь, припустімо, що γ/2 менше за ω₀, і тому ω²₀ - γ²/4  — додатна величина. Турбує інше: чому ми отримали два розв'язки! Їм відповідають

Займімося поки першим розв'язком, припустивши, що ми нічого не знаємо про те, що квадратний корінь набуває двох значень. У цьому випадку зміщення х дорівнює x₁=Aexp(iα₁t), де А — довільна стала. Щоб скоротити запис, введемо спеціальне позначення для квадратного кореня, що входить в ах: √(ω²₀ - γ²/4)
Отже, iα₁ = -γ/2 + iω_γ і x=Aexp[-(γ/2 - iω_γ)t] , або, якщо скористатися чудовою властивістю експоненти,

Отже, система осцилює з частотою ω_γ, яка в точності не дорівнює частоті ω₀, але практично близька до неї, якщо система достатньо добротна. Крім того, амплітуда коливань експоненційно згасає! Якщо взяти дійсну частину (24.16), то ми отримаємо

Цей розв'язок дуже нагадує вгаданий нами розв'язок (24.10), тільки частота трохи інша, ω_γ. Але це лише невелика поправка, отже, початкова ідея була правильною. І все ж не все гаразд! А негаразд те, що існує другий розв'язок. Цьому розв'язку відповідає α₂, і він відрізняється від першого лише знаком ω_γ

Що все це означає? Незабаром ми доведемо, що якщо х₁ і х₂— можливі розв'язки (24.1) при F(t)=0, то х₁+x₂—теж розв'язок цього рівняння! Таким чином, загальний розв'язок має вигляд

Тепер можна запитати: «А, власне, навіщо нам турбувати себе ще одним розв'язком, якщо нас цілком влаштовував перший? Навіщо ці додаткові розв'язки, якщо ми все одно маємо взяти лише дійсну частину?» Ми знаємо, що потрібно взяти дійсну частину, але звідки математика знає, що ми хочемо взяти дійсну частину? Коли в нас була зовнішня сила F(t), ми доповнили її штучною силою, і вона якимось чином керувала уявною частиною рівняння. Але коли ми поклали F(t)≡0, то домовленість про те, що, яким би не було х, потрібно взяти лише його дійсну частину, стала нашою особистою справою, і математичне рівняння про це нічого не знало. У світі фізики є лише дійсні розв'язки, але розв'язок, якому ми так раділи, комплексний. Рівнянню не відомо, що ми робимо цілком несподіваний крок і відбираємо лише дійсну частину, і воно пропонує нам ще, так би мовити, комплексно спряжений розв'язок, щоб, склавши обидва розв'язки, ми отримали справжній дійсний розв'язок; ось для чого ми взяли ще й α₂. Щоб х було дійсним, Bexp(—iω_γt) має бути комплексно спряженим до Aexp(iω_γt) числом, тоді уявна частина зникне. Таким чином, В має бути комплексно спряжене з А, тому наш розв'язок має вигляд

Отже, наші коливання — це коливання з фазовим зсувом і, як належить, зі згасанням.