Додавання двох хвиль

Не так давно ми досить докладно обговорювали властивості світлових хвиль та їхню інтерференцію, тобто ефект суперпозиції двох хвиль від різних джерел. Але при цьому передбачалося, що частоти джерел однакові. У цьому ж розділі ми зупинимося на деяких явищах, що виникають при інтерференції двох джерел з різними частотами.
Неважко здогадатися, що при цьому станеться. Діючи так само, як і раніше, припустімо, що є два однакові осцилюючі джерела з однією й тією самою частотою, причому їхні фази підібрані так, що в деяку точку P сигнали приходять з однаковою фазою. Якщо це світло, то в цій точці воно дуже яскраве, якщо це звук, то він дуже гучний, а якщо це електрони, то їх дуже багато. З іншого боку, якщо хвилі, що приходять, відрізняються за фазою на 180°, то в точці P не буде жодних сигналів, бо повна амплітуда матиме тут мінімум. Припустімо тепер, що хтось крутить ручку «регулювання фази» одного з джерел і змінює різницю фаз у точці P то туди, то сюди, скажімо, спочатку він робить її нульовою, потім—рівною 180° і т. д. При цьому, звісно, змінюватиметься і сила сигналу, що приходить. Ясно тепер, що якщо фаза одного з джерел повільно, постійно і рівномірно змінюється порівняно з іншим, починаючи з нуля, а потім поступово зростає до 10, 20, 30, 40° і т. д., то в точці P ми побачимо низку слабких і сильних «пульсацій», бо коли різниця фаз проходить через 360°, в амплітуді знову виникає  максимум.   Але   твердження, що одне джерело зі сталою швидкістю змінює свою фазу відносно іншого, рівносильне твердженню, що число коливань за 1 с у цих двох джерел дещо відрізняється.
 
Отже, тепер відома відповідь: якщо взяти два джерела, частоти яких трохи відрізняються, то в результаті додавання виходять коливання з повільно пульсуючою інтенсивністю. Іншими словами, все сказане тут дійсно стосується справи!
Цей результат легко отримати і математично. Припустімо, наприклад, що у нас є дві хвилі, і забудьмо на хвилину про всі просторові співвідношення, а просто подивімося, що приходить у точку P. Нехай від одного джерела приходить хвиля cos (ω₁t, а від іншого— хвиля cos ω₂t, причому обидві частоти ω₁ і ω₂ не рівні точно одна одній. Звісно, їхні амплітуди теж можуть бути різними, але спочатку припустімо, що амплітуди рівні. Загальну задачу ми розглянемо пізніше. Повна амплітуда в точці P при цьому буде сумою двох косинусів. Якщо ми побудуємо графік залежності амплітуди від часу, як це показано на фіг.48.1, то виявиться, що коли гребені двох хвиль збігаються, виходить велике відхилення, коли збігаються гребінь і западина — практично нуль, а коли гребені знову збігаються,   знову виходить велика хвиля.
 
Математично нам потрібно взяти суму двох косинусів і якось її перебудувати. Для цього знадобляться деякі корисні співвідношення між косинусами. Отримаймо їх. Ви знаєте, звісно, що

і що дійсна частина експоненти e^iа дорівнює cos a, а уявна частина дорівнює sin a. Якщо ми візьмемо дійсну частину exp [ — i(a+b)],   то   отримаємо  cos (a + b), а для  добутку

ми отримуємо cos a cos b — sin a sin b плюс деяка уявна добавка. Зараз, однак, нам потрібна лише дійсна частина. Отже,

Якщо тепер змінити знак величини b, то, оскільки косинус при цьому не змінює знака, а синус змінює знак на протилежний, ми отримуємо аналогічний вираз для косинуса різниці

Після додавання цих двох рівнянь добуток синусів скоротиться, і ми знаходимо, що добуток двох косинусів дорівнює   половині   косинуса   суми  плюс  половина   косинуса різниці

Тепер можна обернути цей вираз і отримати формулу для cos α + cos β, якщо просто покласти α= a + b, a β = a — b, тобто   а = 1/2(α+β), a b = 1/2(a-β):

Але повернімося до нашої проблеми. Сума cos ω₁t і cos ω₂t  дорівнює

Нехай тепер частоти приблизно однакові, так що ¹/₂(ω₁ + ω₂) дорівнює якійсь середній частоті, яка більш-менш та сама, що й кожна з них. Але різниця ω₁ - ω₂ набагато менша, ніж ω₁ і ω₂, оскільки ми припустили, що ω₁ і ω₂ приблизно рівні одна одній. Це означає, що результат додавання можна витлумачити так, ніби є косинусоподібна хвиля з частотою, більш-менш рівною первісним, але що її «розмах» повільно змінюється: він пульсує з частотою, що дорівнює 1/2(ω₁ - ω₂). Але чи та це частота, з якою ми чуємо биття? Рівняння (48.6) говорить, що амплітуда поводиться як cos¹/₂(ω₁ - ω₂), і це треба розуміти так, що високочастотні коливання укладені між двома косинусоїдами з протилежними знаками (пунктирна лінія на фіг. 48.1). Хоча амплітуда дійсно змінюється з частотою 1/2(ω₁ - ω₂), однак якщо йдеться про інтенсивність хвиль, то ми повинні уявляти собі частоту вдвічі більшу. Іншими словами, модуляція амплітуди в сенсі її інтенсивності відбувається з частотою ω₁ - ω₂, хоча ми й множимо на косинус половинної частоти.
 
Нехтуючи цими невеликими ускладненнями, ми можемо зробити висновок, що якщо додавати дві хвилі з частотами ω₁  і  ω₂, то отримаємо хвилю з частотою, що дорівнює середній частоті 1/2(ω₁ +ω₂), «сила»  якої  осцилює  з  частотою   ω₁ - ω_2.
 
Якщо амплітуди двох хвиль різні, то можна, звісно, повторити всі обчислення знову, попередньо помноживши косинуси на різні амплітуди A₁ і A₂ і виконавши масу всіляких математичних обчислень, перебудов тощо, з використанням рівнянь, подібних до (48.2)—(48.5). Однак є й інший, легший шлях провести цей самий аналіз. Відомо, наприклад, що набагато легше працювати з експонентами, ніж із синусами й косинусами, тому можна подати A_lcos ω₁t як реальну частину експоненти A₁exp (iω₁t). Подібним же чином друга хвиля буде реальною частиною A₂exp (iω₂t).  Після додавання цих експонент A₁exp (iω₁t) + A₂exp (iω₂t) і виділення як множника експоненти із середньою частотою ми отримаємо

тобто знову виявляється, що високочастотна хвиля модулюється малою частотою.