Ми закінчуємо наше обговорення хвиль кількома загальними зауваженнями про хвильове рівняння. Ці зауваження, покликані дати нам картину того, чим нам належить займатися в майбутньому, зовсім не претендують на те, щоб ви зрозуміли їх одразу; вони повинні радше показати, як виглядатимуть усі ці речі, коли ви трохи більше познайомитеся з хвилями. Ми вже записали рівняння для поширення звуку в одному вимірі:
Зображення
тут c — швидкість того, що ми назвали хвилями. Якщо йдеться про звук, то це швидкість звуку, якщо про світло — то це швидкість світла. Ми показали, що для звукової хвилі переміщення частинок повинні поширюватися з деякою швидкістю. Але надлишковий тиск, як і надлишкова густина, теж поширюється з деякою швидкістю. Таким чином, можна очікувати, що й тиск задовольнятиме цьому самому рівнянню. Так воно і є насправді, однак доведіть це самостійно. Вказівка: р„ пропорційно швидкості зміни χ з відстанню x. Отже, продиференціювавши хвильове рівняння за x, ми негайно виявимо, що дχ/дх задовольняє тому самому рівнянню. Іншими словами, ρu задовольняє тому самому рівнянню. Але Pu пропорційно ρu, тому й Pu задовольняє тому самому рівнянню. Таким чином, і тиск, і переміщення — все описується одним і тим самим рівнянням.
Зазвичай хвильове рівняння для звуку записується через тиск, а не через переміщення. Це простіше, тому що тиск — скаляр і не має жодного напрямку. Але переміщення є вектором, і тому краще мати справу з тиском.
Наступне питання, яке нам належить обговорити, стосується хвильового рівняння в тривимірному просторі. Ми знаємо, що звукова хвиля в одновимірному просторі описується розв'язком exp[i (ωt—kx)], де ω=kcs. Крім того, нам відомо, що в трьох вимірах хвиля описується виразом exp[i(ωt — kxx — kyy —kzz)], і в цьому випадку ω2 = k2сs2 [скорочений запис (к2x+k2y+к2z)с2s]. Зараз ми хочемо просто вгадати вигляд хвильового рівняння в тривимірному просторі. Природно, що у випадку звуку це рівняння можна отримати за допомогою тих самих динамічних міркувань, але вже в тривимірному просторі. Однак ми не будемо зараз робити цього, а просто напишемо відповідь: рівняння для тиску або переміщення (або чогось іншого) має вигляд
Зазвичай хвильове рівняння для звуку записується через тиск, а не через переміщення. Це простіше, тому що тиск — скаляр і не має жодного напрямку. Але переміщення є вектором, і тому краще мати справу з тиском.
Наступне питання, яке нам належить обговорити, стосується хвильового рівняння в тривимірному просторі. Ми знаємо, що звукова хвиля в одновимірному просторі описується розв'язком exp[i (ωt—kx)], де ω=kcs. Крім того, нам відомо, що в трьох вимірах хвиля описується виразом exp[i(ωt — kxx — kyy —kzz)], і в цьому випадку ω2 = k2сs2 [скорочений запис (к2x+k2y+к2z)с2s]. Зараз ми хочемо просто вгадати вигляд хвильового рівняння в тривимірному просторі. Природно, що у випадку звуку це рівняння можна отримати за допомогою тих самих динамічних міркувань, але вже в тривимірному просторі. Однак ми не будемо зараз робити цього, а просто напишемо відповідь: рівняння для тиску або переміщення (або чогось іншого) має вигляд
Зображення
правильність цього рівняння можна легко перевірити підстановкою в нього функції exp[i(ωt—kr)]. Ясно, що при кожному диференціюванні за x відбувається множення на — ikx. Якщо ми диференціюємо двічі, то це еквівалентно множенню на —k2x, так що для такої хвилі перший член вийде рівним —k2xPu. Точно таким же чином другий член виявиться рівним —k2yPu, а третій — рівним —k2zPu. З правого ж боку ми отримаємо —ω2/c2sPu. Якщо ми винесемо за дужку Pu і змінимо знаки всіх членів, то побачимо, що між k і ω якраз вийде бажане співвідношення.
Повертаючись назад, ми повинні прийти до основного рівняння, що відповідає дисперсійному співвідношенню (48.22) для квантовомеханічної хвилі. Якщо φ — амплітуда перебування частинки в момент t у точці з координатами x, у і z, то основне рівняння квантової механіки для вільної частинки має вигляд
Повертаючись назад, ми повинні прийти до основного рівняння, що відповідає дисперсійному співвідношенню (48.22) для квантовомеханічної хвилі. Якщо φ — амплітуда перебування частинки в момент t у точці з координатами x, у і z, то основне рівняння квантової механіки для вільної частинки має вигляд
Зображення
Насамперед зазначимо, що релятивістський характер цього рівняння гарантується появою координат x, у, z і часу t у такій вдалій комбінації, що вона автоматично враховує принцип відносності. Крім того, це рівняння хвильове. Якщо підставити в нього плоску хвилю, то як наслідок ми отримаємо рівність —k2+ω2/c2=m2c2/h2, яка повинна виконуватися в квантовій механіці. У цьому хвильовому рівнянні міститься ще одна фундаментальна річ: будь-яка суперпозиція хвиль також буде його розв'язком. Таким чином, це рівняння спирається на всю квантову механіку і всю теорію відносності, яку ми вже обговорювали дотепер, принаймні коли ми мали справу з єдиною частинкою в порожньому просторі без жодних потенціалів і сил, що на неї діють!