Амплітуда ймовірності частинок

Розглянемо ще один надзвичайно цікавий приклад фазової швидкості. Він стосується галузі квантової механіки. Відомо, що амплітуда ймовірності знайти частинку в даному місці змінюється за деяких обставин у просторі й часі (візьмімо один вимір) таким чином:

де ω — частота, пов'язана з класичною енергією, E=hω, а  k — хвильове число, яке пов'язане з імпульсом співвідношенням p = hk. Ми говоримо, що частинка має певний імпульс p, якщо хвильове число точно дорівнює k, тобто якщо біжить ідеальна хвиля скрізь з однаковою амплітудою. Вираз (48.19) дає амплітуду ймовірності, але якщо ми візьмемо квадрат абсолютної величини, то отримаємо відносну ймовірність виявлення частинки як функцію положення й часу. У даному випадку вона дорівнює сталій, що означає ймовірність виявити частинку в будь-якому місці. Розглянемо тепер такий випадок, коли відомо, що виявити частинку в якомусь місці більш імовірно, ніж в інших місцях. Подібну картину ми описуємо хвилею, яка має максимум у даному місці й сходить нанівець у міру віддалення убік (фіг. 48.6). (Це не те саме, що зображено на фіг. 48.1, де хвиля має цілу низку максимумів, але з ними цілком можна впоратися, додавши кілька хвиль з приблизно однаковими значеннями ω і k. Таким способом можна позбутися всіх максимумів, крім одного.)
 
За цих обставин, оскільки квадрат виразу (48.19) являє собою ймовірність знайти частинку в деякому місці, ми знаємо, що в даний момент більше шансів знайти частинку поблизу центру «дзвону», де амплітуда максимальна. Якщо почекати трохи, то хвиля переміститься, і через деякий проміжок часу «дзвін» перейде в якесь інше місце. Знаючи, що частинка спочатку десь була розташована, ми очікували б, згідно з класичною механікою, що вона буде десь і пізніше, адже є ж у неї швидкість та імпульс зрештою. При цьому квантова теорія дає в границі правильні класичні співвідношення між енергією, імпульсом і швидкістю, якщо тільки групова швидкість, швидкість модуляції, дорівнюватиме швидкості класичної частинки з тим самим імпульсом.
 
Зараз необхідно показати, чи так це насправді, чи ні. Згідно з класичною теорією, енергія пов'язана зі швидкістю рівнянням

Точно таким самим чином імпульс дорівнює

Як наслідок звідси після виключення v отримується

тобто p_μр_μ =т². Це найвидатніший результат чотиривимірності, про який ми вже говорили багато разів, що встановлює зв'язок між енергією та імпульсом у класичній теорії. Тепер же, оскільки ми збираємося замінити E і p на ω і k за допомогою підстановки E=hω і p=hk, це означає, що в квантовій механіці повинен існувати зв'язок

Таким чином, виникло співвідношення між частотою і хвильовим числом квантовомеханічної амплітуди, що описує частинку з масою m. Із цього рівняння можна отримати

тобто фазова швидкість ω/k знову більша за швидкість світла!
 
Розглянемо тепер групову швидкість. Вона повинна дорівнювати швидкості,  з якою рухається модуляція,  тобто  dω/dk. Щоб   знайти   її,   потрібно   продиференціювати    квадратний корінь; це справа  нехитра.  Похідна дорівнює

Але квадратний корінь, що входить сюди, є просто ω/с, так що цю формулу можна записати у вигляді dω/dk=с²k/ω. Далі, оскільки k/ω дорівнює p/E, то

Але, згідно з (48.20) і (48.21), c²p/E дорівнює v — швидкості частинки в класичній механіці. Таким чином видно, що, беручи до уваги основні квантовомеханічні співвідношення E=hω і p=hk, що визначають ω і k через класичні величини E і p та дають лише рівняння ω²—k²с²  = m²c⁴/h², тепер можна зрозуміти також співвідношення (48.20) і (48.21), що пов'язують E і p зі швидкістю. Групова швидкість, звісно, повинна бути швидкістю частинок, якщо ця інтерпретація взагалі має якийсь сенс. Нехай у якийсь момент, як ми вважаємо, частинка перебуває в одному місці, а потім, скажімо через 10 хвилин,— в іншому. Тоді, згідно з квантовою механікою, відстань, пройдена «дзвоном», поділена на інтервал часу, повинна дорівнювати класичній швидкості частинки.