Наступне питання, яке ми хочемо обговорити,— це інтерференція хвиль як у просторі, так і в часі. Припустімо, що в просторі поширюються дві хвилі. Ви, звісно, знаєте, що поширення хвилі в просторі, наприклад звукової, можна описати за допомогою експоненти exp[i (ωt - kx)]. Така експонента задовольняє хвильовому рівнянню за умови, що ω2=k2с2, де c — швидкість поширення хвилі. У цьому випадку експоненту можна записати у вигляді exp[ik(z—ct)], що є окремим випадком загального розв'язку f(x—ct). Така експонента повинна описувати хвилю, що поширюється зі швидкістю ω/k, рівною с, і тому тут все гаразд.
Додаймо тепер дві такі хвилі. Нехай перша хвиля поширюється з однією частотою, а друга хвиля — з якоюсь іншою. Випадок нерівних амплітуд розгляньте самостійно, хоча суттєвої відмінності тут немає. Таким чином, ми хочемо додати exp[i(ω1t - k1x)] + exp[i(ω2t - k2x)]. Це можна зробити за допомогою математики, аналогічної тій, що ми використовували при додаванні двох сигналів. Якщо швидкості c обох хвиль однакові, то зробити це дуже легко; за винятком того, що замість t стоїть t` = t—x/c, це буде те саме, що ми недавно робили:
Додаймо тепер дві такі хвилі. Нехай перша хвиля поширюється з однією частотою, а друга хвиля — з якоюсь іншою. Випадок нерівних амплітуд розгляньте самостійно, хоча суттєвої відмінності тут немає. Таким чином, ми хочемо додати exp[i(ω1t - k1x)] + exp[i(ω2t - k2x)]. Це можна зробити за допомогою математики, аналогічної тій, що ми використовували при додаванні двох сигналів. Якщо швидкості c обох хвиль однакові, то зробити це дуже легко; за винятком того, що замість t стоїть t` = t—x/c, це буде те саме, що ми недавно робили:
Зображення
При цьому, природно, ми отримуємо точно такі самі модуляції, як і раніше, які, однак, рухаються разом із хвилею. Іншими словами, якщо додати дві хвилі, які не просто осцилюють, а й переміщуються в просторі, то отримана хвиля також рухатиметься з тією самою швидкістю.
Хотілося б узагальнити це на випадок хвиль, у яких відношення між частотою і хвильовим числом k не таке просте, наприклад поширення хвиль у речовині з деяким показником заломлення. У розд. 31 (вип. 3) ми вже вивчали показник заломлення n і з'ясували, що він пов'язаний із хвильовим числом таким чином: k=nω!c. Як цікавий приклад ми знайшли показник заломлення n для рентгенівських променів:
Хотілося б узагальнити це на випадок хвиль, у яких відношення між частотою і хвильовим числом k не таке просте, наприклад поширення хвиль у речовині з деяким показником заломлення. У розд. 31 (вип. 3) ми вже вивчали показник заломлення n і з'ясували, що він пов'язаний із хвильовим числом таким чином: k=nω!c. Як цікавий приклад ми знайшли показник заломлення n для рентгенівських променів:
Зображення
Насправді в розд. 31 ми отримували й складніші формули, однак ця нічим не гірша, тож чому б нам не взяти її як приклад.
Нам відомо, що навіть у тому випадку, коли ω і k не пропорційні одне одному, відношення ω/k все одно буде швидкістю поширення даної частоти і даного хвильового числа. Це відношення називається фазовою швидкістю, тобто швидкістю, з якою рухається фаза або вузол окремої хвилі:
Нам відомо, що навіть у тому випадку, коли ω і k не пропорційні одне одному, відношення ω/k все одно буде швидкістю поширення даної частоти і даного хвильового числа. Це відношення називається фазовою швидкістю, тобто швидкістю, з якою рухається фаза або вузол окремої хвилі:
Зображення
Цікаво, що, наприклад, для випадку поширення рентгенівських променів у склі ця фазова швидкість більша за швидкість світла в порожнечі [оскільки n, згідно з (48.12), менше за одиницю], а це дещо неприємно, адже не думаємо ж ми, що можна надсилати сигнали швидше за швидкість світла!
Обговорімо тепер інтерференцію двох хвиль, у яких значення ω і k пов'язані якоюсь певною залежністю. Наприклад, написана раніше формула для показника n говорить, що k є певною відомою функцією частоти ω. Для більшої визначеності випишемо формулу залежності k і ω у цій окремій задачі:
Обговорімо тепер інтерференцію двох хвиль, у яких значення ω і k пов'язані якоюсь певною залежністю. Наприклад, написана раніше формула для показника n говорить, що k є певною відомою функцією частоти ω. Для більшої визначеності випишемо формулу залежності k і ω у цій окремій задачі:
Зображення
де a=Nq2e/2ε0m — стала. У всякому разі, ми хочемо додати такі дві хвилі, у яких для кожної частоти існує певне хвильове число.
Зробімо це точно так само, як і при отриманні рівняння (48.7):
Зробімо це точно так само, як і при отриманні рівняння (48.7):
Зображення
Таким чином, знову виходить модульована хвиля, що поширюється із середньою частотою і середнім хвильовим числом, однак сила її змінюється відповідно до виразу, що залежить від різниці частот і різниці хвильових чисел.
Розглянемо тепер випадок, коли різниці між двома хвилями відносно малі. Припустімо, що ми додаємо дві хвилі з приблизно рівними частотами, при цьому (ω1 + ω2)/2 практично дорівнює кожній із частот ω. Те саме можна сказати і про (k1 + k2)/2. Таким чином, швидкість хвилі, швидких осциляцій, вузлів дійсно залишається рівною ω/k. Але дивіться, швидкість поширення модуляцій не та сама! Як потрібно змінити х, щоб збалансувати деяку величину часу t? Швидкість цих модулюючих хвиль дорівнює
Розглянемо тепер випадок, коли різниці між двома хвилями відносно малі. Припустімо, що ми додаємо дві хвилі з приблизно рівними частотами, при цьому (ω1 + ω2)/2 практично дорівнює кожній із частот ω. Те саме можна сказати і про (k1 + k2)/2. Таким чином, швидкість хвилі, швидких осциляцій, вузлів дійсно залишається рівною ω/k. Але дивіться, швидкість поширення модуляцій не та сама! Як потрібно змінити х, щоб збалансувати деяку величину часу t? Швидкість цих модулюючих хвиль дорівнює
Зображення
Швидкість руху модуляцій іноді називають груповою швидкістю. Якщо ми візьмемо випадок відносно малої різниці між частотами і, відповідно, відносно малої різниці між хвильовими числами, то цей вираз переходить у границі в
Зображення
Іншими словами, чим повільніші модуляції, тим повільніше і биття, і ось що найдивовижніше — існує певна швидкість їхнього поширення, яка не дорівнює фазовій швидкості хвилі.
Групова швидкість дорівнює похідній ω за k, а фазова швидкість дорівнює відношенню ω/k.
Подивімося, чи можна зрозуміти, чому так відбувається. Розглянемо дві хвилі з дещо різними довжинами, як це показано на фіг. 48.1. Вони то збігаються за фазою, то відрізняються, то знову збігаються і т. д. Однак тепер ці хвилі насправді являють собою хвилі в просторі, що поширюються з дещо різними швидкостями. Але оскільки фазова швидкість, швидкість вузлів цих двох хвиль, не точно однакова, то відбувається щось нове. Припустімо, що ми їдемо поряд з однією з хвиль і дивимося на іншу. Якби вони рухалися з однаковою швидкістю, то друга хвиля залишалася б відносно нас там же, де й була із самого початку, оскільки ми їдемо ніби на гребені однієї хвилі і бачимо гребінь другої прямо біля себе. Однак насправді швидкості не рівні. Частоти трохи відрізняються одна від одної, а тому трохи відрізняються і швидкості. Через цю невелику різницю в швидкостях інша хвиля або повільно обганяє нас, або відстає. Що ж із плином часу відбувається з вузлом? Якщо трошки посунути одну з хвиль, то вузол при цьому піде на значну відстань вперед (або назад), тобто сума цих двох хвиль має якусь огинаючу, яка разом із поширенням хвиль ковзає по них з іншою швидкістю. Групова швидкість є тією швидкістю, з якою передаються модулюючі сигнали.
Якщо ми посилаємо сигнал, тобто виробляємо якісь зміни хвилі, які можуть бути почуті й розшифровані кимось, то це є свого роду модуляцією, але така модуляція за умови, що вона відносно повільна, поширюватиметься з груповою швидкістю (швидкі модуляції значно важче аналізувати).
Тепер ми можемо показати (нарешті!), що швидкість поширення рентгенівських променів у шматку вугілля, наприклад, не більша, ніж швидкість світла, хоча фазова швидкість більша за швидкість світла. Щоб зробити це, потрібно знайти співвідношення dω/dk, яке ми обчислимо диференціюванням формули (48.14): dk/dω = 1/c+a/ω2c. А групова швидкість дорівнює оберненій величині, тобто
Групова швидкість дорівнює похідній ω за k, а фазова швидкість дорівнює відношенню ω/k.
Подивімося, чи можна зрозуміти, чому так відбувається. Розглянемо дві хвилі з дещо різними довжинами, як це показано на фіг. 48.1. Вони то збігаються за фазою, то відрізняються, то знову збігаються і т. д. Однак тепер ці хвилі насправді являють собою хвилі в просторі, що поширюються з дещо різними швидкостями. Але оскільки фазова швидкість, швидкість вузлів цих двох хвиль, не точно однакова, то відбувається щось нове. Припустімо, що ми їдемо поряд з однією з хвиль і дивимося на іншу. Якби вони рухалися з однаковою швидкістю, то друга хвиля залишалася б відносно нас там же, де й була із самого початку, оскільки ми їдемо ніби на гребені однієї хвилі і бачимо гребінь другої прямо біля себе. Однак насправді швидкості не рівні. Частоти трохи відрізняються одна від одної, а тому трохи відрізняються і швидкості. Через цю невелику різницю в швидкостях інша хвиля або повільно обганяє нас, або відстає. Що ж із плином часу відбувається з вузлом? Якщо трошки посунути одну з хвиль, то вузол при цьому піде на значну відстань вперед (або назад), тобто сума цих двох хвиль має якусь огинаючу, яка разом із поширенням хвиль ковзає по них з іншою швидкістю. Групова швидкість є тією швидкістю, з якою передаються модулюючі сигнали.
Якщо ми посилаємо сигнал, тобто виробляємо якісь зміни хвилі, які можуть бути почуті й розшифровані кимось, то це є свого роду модуляцією, але така модуляція за умови, що вона відносно повільна, поширюватиметься з груповою швидкістю (швидкі модуляції значно важче аналізувати).
Тепер ми можемо показати (нарешті!), що швидкість поширення рентгенівських променів у шматку вугілля, наприклад, не більша, ніж швидкість світла, хоча фазова швидкість більша за швидкість світла. Щоб зробити це, потрібно знайти співвідношення dω/dk, яке ми обчислимо диференціюванням формули (48.14): dk/dω = 1/c+a/ω2c. А групова швидкість дорівнює оберненій величині, тобто
Зображення
що менше, ніж с! Таким чином, хоча фази можуть бігти швидше за швидкість світла, модулюючі сигнали рухаються повільніше, і в цьому полягає розв'язання позірного парадоксу! Зрозуміло, у найпростішому випадку ω=kc групова швидкість dω/dk теж дорівнює c, тобто коли всі фази рухаються з однаковою швидкістю, природно, і групова швидкість буде тією самою.