Повернімося тепер до інших дуже цікавих прикладів биття, які трохи відрізняються від того, що ми розглядали дотепер. Уявіть собі два однакові маятники, які зв'язані між собою слабкою пружинкою. Їхні довжини повинні бути однаковими з якомога більшою точністю. Якщо ми відтягнемо один маятник і відпустимо його, то він хитатиметься взад і вперед і тягтиме то взад, то вперед з'єднувальну пружинку, тобто вийде пристрій, що створює силу з власною частотою другого маятника. Можна зробити висновок зі знайомої нам теорії резонансів, що якщо до якогось предмета прикладати з належною частотою силу, то вона рухатиме цей предмет. Таким чином, зрозуміло, що один маятник, рухаючись взад і вперед, розгойдуватиме другий. Однак за цих умов відбувається якесь нове явище, пов'язане з тим, що енергія системи скінченна. Перший маятник поступово витрачає свою енергію, викликаючи рух другого маятника, і врешті-решт повністю віддасть свою енергію і зупиниться. Вся енергія тепер буде зосереджена в другому маятнику. Але мине трохи часу, і все відбуватиметься навпаки: енергія з другого маятника перекачуватиметься назад, у перший маятник. Це дуже цікаве і захопливе явище. Ми сказали, що воно пов'язане з теорією биття, і зараз ми повинні показати, як можна зрозуміти це явище з точки зору цієї теорії.
Зверніть увагу, що рух кожного з двох маятників — це коливання з циклічно змінюваною амплітудою. Тому рух одного з маятників можна, очевидно, розглядати з різних точок зору, зокрема як суму двох одночасних коливань з мало відмінними частотами. Таким чином повинно бути можливо виявити в цій системі два інших рухи і стверджувати, що оскільки наша система, безумовно, лінійна, то ми бачимо суперпозицію цих двох розв'язків. Дійсно, легко знайти два способи так запустити нашу систему, що кожен з них дасть у результаті ідеальне абсолютно періодичне коливання з однією частотою. Рух, з якого ми почали, не строго періодичний, він не триває весь час (один маятник поступово передає свою енергію іншому і змінює свою амплітуду), але є способи так почати рух, що не буде жодних подібних змін. Щойно ви дізнаєтеся, що це за способи, то одразу ж зрозумієте чому. Якщо, наприклад, ми запустимо обидва маятники одночасно, то, оскільки їхня довжина однакова і пружинка в цьому випадку бездіє, обидва маятники так і продовжуватимуть хитатися весь час разом. (Звісно, якщо немає тертя і все досить добре підігнано.) З іншого боку, існує ще одна можливість створити строго періодичний рух, який також має певну частоту,— коли маятники, відтягнуті спочатку в різні боки на точно рівні відстані, рухаються в протилежних напрямках. Неважко зрозуміти, що пружинка трохи збільшує «відновлювальну силу», що виникає через дію сили тяжіння, і система коливається з дещо більшою частотою, ніж у першому випадку,— ось і все. Чому з більшою? Та тому, що пружинка тягне, допомагаючи силі тяжіння, і це робить систему більш «жорсткою», так що частота такого коливання трохи більша.
Отже, створити коливання зі сталою амплітудою в нашій системі можна двома способами: або обидва маятники хитаються весь час разом з однією частотою, або вони хитаються в протилежних напрямках з дещо більшою частотою.
Дійсний же рух системи, оскільки вона лінійна, можна подати у вигляді суперпозиції цих двох способів. (Нагадаємо, що предметом цього розділу є ефекти додавання двох рухів з різними частотами.) Подумаймо, що сталося б, якби ми додали ці два розв'язки. Якщо в момент t=0 запустити обидва ці рухи (причому з рівними амплітудами й однаковою фазою), то сума цих двох рухів означає, що один маятник, на який якимось чином вплинув перший рух і протилежним чином вплинув другий, повинен залишатися на місці, тоді як інший маятник, рухаючись однаково при обох способах руху, хитається з подвоєною амплітудою. З плином часу, однак, обидва ці основні рухи, існуючи незалежно один від одного, повільно зсуваються за фазою один відносно іншого. Це означає, що після досить великого проміжку часу, такого, що в першому русі відбудеться, скажімо, 900,5 коливання, а в другому — лише 900, відносна фаза стане якраз протилежною щодо того, що було спочатку. Іншими словами, маятник, що мав спочатку більшу амплітуду, зупиниться, тоді як маятник, нерухомий спочатку, почне хитатися щосили!
Отже, ми бачимо, що такий складний рух можна розглядати в рамках ідеї резонансів, коли енергія від одного маятника переходить до іншого, або як суперпозицію двох рухів зі сталою амплітудою і різними частотами.
Зверніть увагу, що рух кожного з двох маятників — це коливання з циклічно змінюваною амплітудою. Тому рух одного з маятників можна, очевидно, розглядати з різних точок зору, зокрема як суму двох одночасних коливань з мало відмінними частотами. Таким чином повинно бути можливо виявити в цій системі два інших рухи і стверджувати, що оскільки наша система, безумовно, лінійна, то ми бачимо суперпозицію цих двох розв'язків. Дійсно, легко знайти два способи так запустити нашу систему, що кожен з них дасть у результаті ідеальне абсолютно періодичне коливання з однією частотою. Рух, з якого ми почали, не строго періодичний, він не триває весь час (один маятник поступово передає свою енергію іншому і змінює свою амплітуду), але є способи так почати рух, що не буде жодних подібних змін. Щойно ви дізнаєтеся, що це за способи, то одразу ж зрозумієте чому. Якщо, наприклад, ми запустимо обидва маятники одночасно, то, оскільки їхня довжина однакова і пружинка в цьому випадку бездіє, обидва маятники так і продовжуватимуть хитатися весь час разом. (Звісно, якщо немає тертя і все досить добре підігнано.) З іншого боку, існує ще одна можливість створити строго періодичний рух, який також має певну частоту,— коли маятники, відтягнуті спочатку в різні боки на точно рівні відстані, рухаються в протилежних напрямках. Неважко зрозуміти, що пружинка трохи збільшує «відновлювальну силу», що виникає через дію сили тяжіння, і система коливається з дещо більшою частотою, ніж у першому випадку,— ось і все. Чому з більшою? Та тому, що пружинка тягне, допомагаючи силі тяжіння, і це робить систему більш «жорсткою», так що частота такого коливання трохи більша.
Отже, створити коливання зі сталою амплітудою в нашій системі можна двома способами: або обидва маятники хитаються весь час разом з однією частотою, або вони хитаються в протилежних напрямках з дещо більшою частотою.
Дійсний же рух системи, оскільки вона лінійна, можна подати у вигляді суперпозиції цих двох способів. (Нагадаємо, що предметом цього розділу є ефекти додавання двох рухів з різними частотами.) Подумаймо, що сталося б, якби ми додали ці два розв'язки. Якщо в момент t=0 запустити обидва ці рухи (причому з рівними амплітудами й однаковою фазою), то сума цих двох рухів означає, що один маятник, на який якимось чином вплинув перший рух і протилежним чином вплинув другий, повинен залишатися на місці, тоді як інший маятник, рухаючись однаково при обох способах руху, хитається з подвоєною амплітудою. З плином часу, однак, обидва ці основні рухи, існуючи незалежно один від одного, повільно зсуваються за фазою один відносно іншого. Це означає, що після досить великого проміжку часу, такого, що в першому русі відбудеться, скажімо, 900,5 коливання, а в другому — лише 900, відносна фаза стане якраз протилежною щодо того, що було спочатку. Іншими словами, маятник, що мав спочатку більшу амплітуду, зупиниться, тоді як маятник, нерухомий спочатку, почне хитатися щосили!
Отже, ми бачимо, що такий складний рух можна розглядати в рамках ідеї резонансів, коли енергія від одного маятника переходить до іншого, або як суперпозицію двох рухів зі сталою амплітудою і різними частотами.