Подивимося тепер, чи справді хвильове рівняння описує основні властивості звукових хвиль у середовищі. Насамперед ми хочемо вивести, що звукове коливання, або збурення, рухається зі сталою швидкістю. Крім того, нам треба довести, що два різних коливання можуть вільно проходити одне крізь інше, тобто принцип суперпозиції. Ми хочемо ще довести, що звук може поширюватися і праворуч, і ліворуч. Усі ці властивості повинні міститися в нашому одному рівнянні.
Раніше ми відзначали, що будь-яке збурення, що має вигляд плоскої хвилі і рухається зі сталою швидкістю, записується у вигляді f(x—vt). Подивимося тепер, чи є f(x—vt) розв'язком хвильового рівняння. Обчислюючи дχ/дх, отримуємо похідну функції dχ/dx=f`(x—vt). Диференціюючи ще раз, знаходимо
Раніше ми відзначали, що будь-яке збурення, що має вигляд плоскої хвилі і рухається зі сталою швидкістю, записується у вигляді f(x—vt). Подивимося тепер, чи є f(x—vt) розв'язком хвильового рівняння. Обчислюючи дχ/дх, отримуємо похідну функції dχ/dx=f`(x—vt). Диференціюючи ще раз, знаходимо
Зображення
Диференціюючи ту саму функцію χ по t, отримуємо значення — v, помножене на похідну, або dχ/dt =—vf`(x — vt); друга похідна за часом дає
Зображення
Очевидно, що f(x — vt) задовольняє хвильовому рівнянню, якщо v дорівнює cs.
Таким чином, із законів механіки ми отримуємо, що будь-яке звукове збурення поширюється зі швидкістю cs і, крім того,
Таким чином, із законів механіки ми отримуємо, що будь-яке звукове збурення поширюється зі швидкістю cs і, крім того,
Зображення
тим самим ми пов'язали швидкість звукових хвиль із властивостями середовища.
Легко побачити, що звукова хвиля може поширюватися і в напрямку від'ємних x, тобто звукове збурення вигляду χ(x, t)=g(x+vt) також задовольняє хвильовому рівнянню. Єдина відмінність цієї хвилі від тієї, що поширювалася зліва направо, полягає в знаку v, але знак d2χ/dt2 не залежить від вибору x+vt або x—vt, тому що в цю похідну входить лише v2. Звідси випливає, що розв'язок рівняння описує хвилі, що біжать у будь-якому напрямку зі швидкістю cs.
Особливий інтерес становить питання про суперпозицію розв'язків. Припустімо, ми знайшли один розв'язок, скажімо χ1. Це означає, що друга похідна χ1. по x дорівнює другій похідній χ1 по t, помноженій на 1/с2s. І нехай є другий розв'язок χ2, що має ту саму властивість. Складемо ці два розв'язки, тоді отримуємо
Легко побачити, що звукова хвиля може поширюватися і в напрямку від'ємних x, тобто звукове збурення вигляду χ(x, t)=g(x+vt) також задовольняє хвильовому рівнянню. Єдина відмінність цієї хвилі від тієї, що поширювалася зліва направо, полягає в знаку v, але знак d2χ/dt2 не залежить від вибору x+vt або x—vt, тому що в цю похідну входить лише v2. Звідси випливає, що розв'язок рівняння описує хвилі, що біжать у будь-якому напрямку зі швидкістю cs.
Особливий інтерес становить питання про суперпозицію розв'язків. Припустімо, ми знайшли один розв'язок, скажімо χ1. Це означає, що друга похідна χ1. по x дорівнює другій похідній χ1 по t, помноженій на 1/с2s. І нехай є другий розв'язок χ2, що має ту саму властивість. Складемо ці два розв'язки, тоді отримуємо
Зображення
Тепер ми хочемо переконатися, що χ(x, t) теж є якоюсь хвилею, тобто χ теж задовольняє хвильовому рівнянню. Це дуже просто довести, оскільки
Зображення
Звідси випливає, що d2χ/dx2 = (1/c2s)d2χldt2, отже справедливість принципу суперпозиції перевірена. Саме існування принципу суперпозиції пов'язане з тим, що хвильове рівняння лінійне по χ.
Тепер природно було б очікувати, що плоска світлова хвиля, яка поширюється вздовж осі x і поляризована так, що електричне поле спрямоване вздовж осі y, теж задовольняє хвильовому рівнянню
Тепер природно було б очікувати, що плоска світлова хвиля, яка поширюється вздовж осі x і поляризована так, що електричне поле спрямоване вздовж осі y, теж задовольняє хвильовому рівнянню
Зображення
де c — швидкість світла. Хвильове рівняння для світлової хвилі є одним із наслідків рівнянь Максвелла. Рівняння електродинаміки приводять до хвильового рівняння для світла точно так само, як рівняння механіки приводять до хвильового рівняння для звуку.