Давайте виведемо тепер властивості поширення звуку між джерелом і приймачем, спираючись на закони Ньютона, але не враховуючи при цьому взаємодії звуку з джерелом і приймачем. Зазвичай ми докладніше зупинялися на результаті, а не на його виведенні. У цьому розділі ми використовуємо протилежний підхід. Головним тут буде певною мірою саме отримання результату. Метод пояснення нових явищ за допомогою старих, закони яких уже відомі, є, мабуть, найвеличнішим мистецтвом математичної фізики. Математична фізика розв'язує дві проблеми: знайти розв'язок заданого рівняння і знайти рівняння, що описують нове явище. Те, чим ми будемо займатися, стосується якраз другої проблеми.
Розглянемо найпростіший приклад — поширення звуку в одновимірному просторі. Для виведення нам спочатку необхідно зрозуміти, що ж насправді відбувається. В основі явища лежить такий факт: коли тіло переміщується в повітрі, виникає збурення, яке якось поширюється по повітрю. На запитання, що це за збурення, ми можемо відповісти: це такий рух тіла, який спричиняє зміну тиску. Звісно, якщо тіло рухається повільно, повітря лише обтікає його, але нас цікавить швидкий рух, коли повітря не встигає обійти навколо тіла. За цих умов повітря в процесі руху стискається і виникає надлишковий тиск, що штовхає навколишні шари повітря. Ці шари, своєю чергою, стискаються, знову виникає надлишковий тиск, і ось починає поширюватися хвиля.
Опишемо цей процес мовою формул. Насамперед вирішимо, які нам потрібні змінні. У нашій задачі нам треба знати, наскільки перемістилося повітря, тому зміщення повітря в звуковій хвилі, безсумнівно, буде нашою першою змінною. Крім того, хотілося б знати, як змінюється густина повітря при зміщенні. Тиск повітря теж змінюється, і це ще одна цікава змінна. Крім того, повітря рухається з деякою швидкістю, і ми повинні вміти визначити швидкість частинок повітря. Частинки повітря мають ще й прискорення, але, записавши всі ці змінні, ми одразу ж зрозуміємо, що і швидкість, і прискорення будуть нам відомі, якщо відоме зміщення повітря як функція часу.
Як уже говорилося, ми розглянемо хвилю в одному вимірі. Так можна вчинити, якщо ми перебуваємо достатньо далеко від джерела і так званий фронт хвилі мало відрізняється від площини. На цьому прикладі наше доведення буде простішим, оскільки можна сказати, що зміщення χ залежить лише від x і t, а не від y і z. Тому поведінка повітря описується функцією χ (x, t).
Наскільки повний такий опис? Здавалося б, він дуже не повний, бо нам не відомі подробиці руху молекул повітря. Вони рухаються в усіх напрямках, і цей факт не відображається функцією χ(x, t). З погляду кінетичної теорії, якщо в одному місці спостерігається більша густина молекул, а в сусідньому менша, молекули переходитимуть з області з більшою густиною в область з меншою густиною, так щоб зрівняти густини. Очевидно, що при цьому жодних коливань не відбувається і звук не виникає. Для отримання звукової хвилі потрібно, щоб молекули, вилітаючи з області з більшою густиною і тиском, передавали імпульс іншим молекулам, що перебувають в області розрідження. Звук виникає в тому разі, якщо розміри області зміни густини і тиску набагато більші за відстань, яку проходять молекули до зіткнення з іншими молекулами. Ця відстань є довжиною вільного пробігу, і вона повинна бути набагато меншою за відстань між гребенями і западинами тиску. У протилежному разі молекули перейдуть з гребеня у западину, і хвиля миттєво вирівняється.
Ми, природно, хочемо описати поведінку газу в масштабі, більшому, ніж довжина вільного пробігу, так щоб властивості газу не визначалися поведінкою окремих молекул. Наприклад, зміщення є зміщенням центра інерції невеликого об'єму газу, а тиск або густина стосуються цього самого об'єму. Ми позначимо тиск через P, а густину через р, причому обидві величини будуть функціями від x і t. Необхідно пам'ятати, що наш опис наближений і справедливий лише тоді, коли властивості газу не надто швидко змінюються з відстанню.
Розглянемо найпростіший приклад — поширення звуку в одновимірному просторі. Для виведення нам спочатку необхідно зрозуміти, що ж насправді відбувається. В основі явища лежить такий факт: коли тіло переміщується в повітрі, виникає збурення, яке якось поширюється по повітрю. На запитання, що це за збурення, ми можемо відповісти: це такий рух тіла, який спричиняє зміну тиску. Звісно, якщо тіло рухається повільно, повітря лише обтікає його, але нас цікавить швидкий рух, коли повітря не встигає обійти навколо тіла. За цих умов повітря в процесі руху стискається і виникає надлишковий тиск, що штовхає навколишні шари повітря. Ці шари, своєю чергою, стискаються, знову виникає надлишковий тиск, і ось починає поширюватися хвиля.
Опишемо цей процес мовою формул. Насамперед вирішимо, які нам потрібні змінні. У нашій задачі нам треба знати, наскільки перемістилося повітря, тому зміщення повітря в звуковій хвилі, безсумнівно, буде нашою першою змінною. Крім того, хотілося б знати, як змінюється густина повітря при зміщенні. Тиск повітря теж змінюється, і це ще одна цікава змінна. Крім того, повітря рухається з деякою швидкістю, і ми повинні вміти визначити швидкість частинок повітря. Частинки повітря мають ще й прискорення, але, записавши всі ці змінні, ми одразу ж зрозуміємо, що і швидкість, і прискорення будуть нам відомі, якщо відоме зміщення повітря як функція часу.
Як уже говорилося, ми розглянемо хвилю в одному вимірі. Так можна вчинити, якщо ми перебуваємо достатньо далеко від джерела і так званий фронт хвилі мало відрізняється від площини. На цьому прикладі наше доведення буде простішим, оскільки можна сказати, що зміщення χ залежить лише від x і t, а не від y і z. Тому поведінка повітря описується функцією χ (x, t).
Наскільки повний такий опис? Здавалося б, він дуже не повний, бо нам не відомі подробиці руху молекул повітря. Вони рухаються в усіх напрямках, і цей факт не відображається функцією χ(x, t). З погляду кінетичної теорії, якщо в одному місці спостерігається більша густина молекул, а в сусідньому менша, молекули переходитимуть з області з більшою густиною в область з меншою густиною, так щоб зрівняти густини. Очевидно, що при цьому жодних коливань не відбувається і звук не виникає. Для отримання звукової хвилі потрібно, щоб молекули, вилітаючи з області з більшою густиною і тиском, передавали імпульс іншим молекулам, що перебувають в області розрідження. Звук виникає в тому разі, якщо розміри області зміни густини і тиску набагато більші за відстань, яку проходять молекули до зіткнення з іншими молекулами. Ця відстань є довжиною вільного пробігу, і вона повинна бути набагато меншою за відстань між гребенями і западинами тиску. У протилежному разі молекули перейдуть з гребеня у западину, і хвиля миттєво вирівняється.
Ми, природно, хочемо описати поведінку газу в масштабі, більшому, ніж довжина вільного пробігу, так щоб властивості газу не визначалися поведінкою окремих молекул. Наприклад, зміщення є зміщенням центра інерції невеликого об'єму газу, а тиск або густина стосуються цього самого об'єму. Ми позначимо тиск через P, а густину через р, причому обидві величини будуть функціями від x і t. Необхідно пам'ятати, що наш опис наближений і справедливий лише тоді, коли властивості газу не надто швидко змінюються з відстанню.