У цьому розділі ми обговорюватимемо нове явище — хвилі. Про хвилі часто й багато говориться у фізиці, і нам свою увагу слід зосередити на цьому питанні не лише тому, що ми збираємося розглянути окремий приклад хвиль — звук,— а й тому, що хвильові процеси мають і інші численні застосування в усіх галузях фізики.
Вивчаючи гармонічний осцилятор, ми вже відзначали, що існують приклади як механічних коливних систем, так і електричних. Хвилі тісно пов'язані з коливними системами, проте хвильовий рух є не лише коливанням у даному місці, яке залежить від часу, а й рухом у просторі.
Ми вже насправді вивчали хвилі. Коли ми говорили про хвильові властивості світла, ми звертали особливу увагу на просторову інтерференцію хвиль однієї й тієї самої частоти від різних джерел, розташованих у різних місцях. Існують ще два важливих явища, про які ми не згадували і які властиві як світлу, тобто електромагнітним хвилям, так і будь-якій іншій формі хвильового руху. Перше з них — це явище інтерференції, але вже не в просторі, а в часі. Коли ми чуємо звуки одразу від двох джерел, причому частоти їхні трохи відрізняються, до нас приходять то гребені обох хвиль, то гребінь однієї хвилі і западина другої (фіг. 47.1). Звук то посилюється, то слабшає, виникає биття, або, іншими словами, відбувається інтерференція в часі. Друге явище — це хвильовий рух у замкненому об'ємі, коли хвилі відбиваються то від однієї, то від іншої стінки.
Усі ці ефекти можна було, звісно, розглянути й на прикладі електромагнітних хвиль. Ми цього не зробили з тієї причини, що на одному прикладі ми не відчули б загального характеру явища, властивого найрізноманітнішим процесам. Щоб підкреслити спільність поняття хвиль поза рамками електродинаміки, ми розглянемо тут інший приклад — звукові хвилі.
Є ще приклад — морські хвилі, що набігають на берег, або дрібні брижі на воді. Крім того, існують два роди пружних хвиль у твердих тілах: хвилі стиснення (або поздовжні хвилі), у яких частинки тіла коливаються вперед і назад у напрямку поширення хвилі (звукові коливання в газі саме такого типу), і поперечні хвилі, коли частинки тіла коливаються перпендикулярно до напрямку руху хвилі. Під час землетрусів унаслідок руху ділянки земної кори виникають пружні хвилі обох типів.
І, нарешті, є ще один тип хвиль, який дає нам сучасна фізика. Це хвилі, що визначають амплітуду ймовірності знаходження частинки в даному місці,— «хвилі матерії», про які ми вже говорили. Їхня частота пропорційна енергії, а хвильове число пропорційне імпульсу. Ці хвилі трапляються в квантовій механіці.
У цьому розділі ми розглядатимемо лише такі хвилі, швидкість яких не залежить від довжини хвилі. Приклад таких хвиль — поширення світла у вакуумі. Швидкість світла в цьому разі одна й та сама для радіохвиль, для синього й зеленого світла і взагалі для світла будь-якої довжини хвилі. Саме тому, коли ми описували хвильові явища, ми спочатку й не помітили самого факту поширення хвиль. Натомість ми говорили, що якщо перенести заряд у якусь точку, то електричне поле на відстані x буде пропорційне прискоренню заряда, але не в момент часу t, а в більш ранній момент часу t — x/c. Тому розподіл електричного поля в просторі в якийсь момент часу, зображений на фіг. 47.2, через час t переміститься на відстань ct. Виражаючись математично, можна сказати, що в розглядуваному нами одновимірному випадку електричне поле є функцією від x—ct. Звідси видно, що при t = 0 воно виявляється функцією лише x. Якщо взяти пізніший момент часу і трохи збільшити x, ми отримаємо те саме значення поля. Наприклад, якщо максимум поля виникає при x=3 і в момент часу t=0, то положення максимуму в момент часу t знаходиться з рівності
x—ct = 3, або x = b+ct.
Ми бачимо, що така функція відповідає поширенню хвилі. Отже, функція f(x—ct) описує хвилю. Ми можемо все сказане записати коротко так:
f(x - ct) = f[x + Δx - c(t + Δt)]
якщо Δx=cΔt. Звісно, існує ще й інша можливість, коли джерело випромінює хвилі не праворуч, як зазначено на фіг. 47.2, а ліворуч, так що хвилі будуть рухатися в бік від'ємних x. Тоді поширення хвилі описувалося б функцією g(x+ct).
Вивчаючи гармонічний осцилятор, ми вже відзначали, що існують приклади як механічних коливних систем, так і електричних. Хвилі тісно пов'язані з коливними системами, проте хвильовий рух є не лише коливанням у даному місці, яке залежить від часу, а й рухом у просторі.
Ми вже насправді вивчали хвилі. Коли ми говорили про хвильові властивості світла, ми звертали особливу увагу на просторову інтерференцію хвиль однієї й тієї самої частоти від різних джерел, розташованих у різних місцях. Існують ще два важливих явища, про які ми не згадували і які властиві як світлу, тобто електромагнітним хвилям, так і будь-якій іншій формі хвильового руху. Перше з них — це явище інтерференції, але вже не в просторі, а в часі. Коли ми чуємо звуки одразу від двох джерел, причому частоти їхні трохи відрізняються, до нас приходять то гребені обох хвиль, то гребінь однієї хвилі і западина другої (фіг. 47.1). Звук то посилюється, то слабшає, виникає биття, або, іншими словами, відбувається інтерференція в часі. Друге явище — це хвильовий рух у замкненому об'ємі, коли хвилі відбиваються то від однієї, то від іншої стінки.Усі ці ефекти можна було, звісно, розглянути й на прикладі електромагнітних хвиль. Ми цього не зробили з тієї причини, що на одному прикладі ми не відчули б загального характеру явища, властивого найрізноманітнішим процесам. Щоб підкреслити спільність поняття хвиль поза рамками електродинаміки, ми розглянемо тут інший приклад — звукові хвилі.
Є ще приклад — морські хвилі, що набігають на берег, або дрібні брижі на воді. Крім того, існують два роди пружних хвиль у твердих тілах: хвилі стиснення (або поздовжні хвилі), у яких частинки тіла коливаються вперед і назад у напрямку поширення хвилі (звукові коливання в газі саме такого типу), і поперечні хвилі, коли частинки тіла коливаються перпендикулярно до напрямку руху хвилі. Під час землетрусів унаслідок руху ділянки земної кори виникають пружні хвилі обох типів.
І, нарешті, є ще один тип хвиль, який дає нам сучасна фізика. Це хвилі, що визначають амплітуду ймовірності знаходження частинки в даному місці,— «хвилі матерії», про які ми вже говорили. Їхня частота пропорційна енергії, а хвильове число пропорційне імпульсу. Ці хвилі трапляються в квантовій механіці.
У цьому розділі ми розглядатимемо лише такі хвилі, швидкість яких не залежить від довжини хвилі. Приклад таких хвиль — поширення світла у вакуумі. Швидкість світла в цьому разі одна й та сама для радіохвиль, для синього й зеленого світла і взагалі для світла будь-якої довжини хвилі. Саме тому, коли ми описували хвильові явища, ми спочатку й не помітили самого факту поширення хвиль. Натомість ми говорили, що якщо перенести заряд у якусь точку, то електричне поле на відстані x буде пропорційне прискоренню заряда, але не в момент часу t, а в більш ранній момент часу t — x/c. Тому розподіл електричного поля в просторі в якийсь момент часу, зображений на фіг. 47.2, через час t переміститься на відстань ct. Виражаючись математично, можна сказати, що в розглядуваному нами одновимірному випадку електричне поле є функцією від x—ct. Звідси видно, що при t = 0 воно виявляється функцією лише x. Якщо взяти пізніший момент часу і трохи збільшити x, ми отримаємо те саме значення поля. Наприклад, якщо максимум поля виникає при x=3 і в момент часу t=0, то положення максимуму в момент часу t знаходиться з рівності
x—ct = 3, або x = b+ct.
Ми бачимо, що така функція відповідає поширенню хвилі. Отже, функція f(x—ct) описує хвилю. Ми можемо все сказане записати коротко так:
f(x - ct) = f[x + Δx - c(t + Δt)]
якщо Δx=cΔt. Звісно, існує ще й інша можливість, коли джерело випромінює хвилі не праворуч, як зазначено на фіг. 47.2, а ліворуч, так що хвилі будуть рухатися в бік від'ємних x. Тоді поширення хвилі описувалося б функцією g(x+ct).
Зображення
Може ще статися, що в просторі одночасно рухається декілька хвиль, і тоді електричне поле є сумою всіх полів, і всі вони поширюються незалежно. Цю властивість електричних полів можна виразити так: нехай f1(x—ct) відповідає одній хвилі, a f2(x—ct) — іншій, тоді їхня сума також описує деяку хвилю. Це твердження називається принципом суперпозиції. Він справедливий і для звукових хвиль.
Ми добре знаємо, що звуки сприймаються в тій послідовності, в якій вони створюються джерелом. А якби високі частоти поширювалися швидше, ніж низькі, то замість звуків музики ми чули б різкий і уривчастий шум. Так само якби червоне світло рухалося швидше, ніж синє, то спалах білого світла виглядав би спочатку червоним, потім білим і нарешті синім. Ми добре знаємо, що насправді такого не відбувається. І звук, і світло рухаються в повітрі зі швидкістю, майже не залежною від частоти. Приклади хвильового руху, де цей принцип не виконується, буде розглянуто в розд. 48.
Для світла (електромагнітних хвиль) ми отримали формулу, що визначає електричне поле в даній точці, яке виникає при прискоренні заряда. Здавалося б, нам залишається тепер подібним чином визначити якусь характеристику повітря, скажімо тиск на заданій відстані від джерела через рух джерела, і врахувати запізнення при поширенні звуку.
У випадку світла такий підхід був прийнятний, оскільки всі наші знання зводилися до того, що заряд в одному місці діє з певною силою на заряд в іншому місці. Подробиці поширення взаємодії з однієї точки в іншу були абсолютно несуттєві. Але звук, як відомо, поширюється по повітрю від джерела до вуха, і природно запитати, чому дорівнює тиск повітря в кожен даний момент. Крім того, хотілося б знати, як саме рухається повітря.
У випадку електрики ми могли повірити в правило, оскільки закони електрики ми ще не проходили, але для звуку це не так. Нам недостатньо сформулювати закон, що визначає поширення звукового тиску в повітрі; цей процес має бути пояснений на основі законів механіки. Коротше, звук є частиною механіки, і він має бути пояснений за допомогою законів Ньютона. Поширення звуку з однієї точки в іншу є просто наслідком механіки і властивостей газів, якщо звук поширюється в газі, або властивостей рідин і твердих тіл, якщо звук проходить крізь ці середовища. Пізніше ми виведемо також властивості світла і його хвильовий рух із законів електродинаміки.
Ми добре знаємо, що звуки сприймаються в тій послідовності, в якій вони створюються джерелом. А якби високі частоти поширювалися швидше, ніж низькі, то замість звуків музики ми чули б різкий і уривчастий шум. Так само якби червоне світло рухалося швидше, ніж синє, то спалах білого світла виглядав би спочатку червоним, потім білим і нарешті синім. Ми добре знаємо, що насправді такого не відбувається. І звук, і світло рухаються в повітрі зі швидкістю, майже не залежною від частоти. Приклади хвильового руху, де цей принцип не виконується, буде розглянуто в розд. 48.
Для світла (електромагнітних хвиль) ми отримали формулу, що визначає електричне поле в даній точці, яке виникає при прискоренні заряда. Здавалося б, нам залишається тепер подібним чином визначити якусь характеристику повітря, скажімо тиск на заданій відстані від джерела через рух джерела, і врахувати запізнення при поширенні звуку.
У випадку світла такий підхід був прийнятний, оскільки всі наші знання зводилися до того, що заряд в одному місці діє з певною силою на заряд в іншому місці. Подробиці поширення взаємодії з однієї точки в іншу були абсолютно несуттєві. Але звук, як відомо, поширюється по повітрю від джерела до вуха, і природно запитати, чому дорівнює тиск повітря в кожен даний момент. Крім того, хотілося б знати, як саме рухається повітря.
У випадку електрики ми могли повірити в правило, оскільки закони електрики ми ще не проходили, але для звуку це не так. Нам недостатньо сформулювати закон, що визначає поширення звукового тиску в повітрі; цей процес має бути пояснений на основі законів механіки. Коротше, звук є частиною механіки, і він має бути пояснений за допомогою законів Ньютона. Поширення звуку з однієї точки в іншу є просто наслідком механіки і властивостей газів, якщо звук поширюється в газі, або властивостей рідин і твердих тіл, якщо звук проходить крізь ці середовища. Пізніше ми виведемо також властивості світла і його хвильовий рух із законів електродинаміки.