Вимушені коливання з гальмуванням

Отже, ми можемо розв'язати задачу про коливальний рух, користуючись витонченою математикою. Проте витонченість коштує небагато, коли задача й так розв'язується просто; математику треба застосовувати тоді, коли розв'язуються складніші задачі. Перейдімо тому до однієї з таких задач, яка, крім того, ближча до дійсності, ніж попередня. З рівняння (23.5) випливає, що, якщо ω точно дорівнює ω₀, амплітуда коливання стає нескінченною. Цього, звісно, не може бути, бо багато речей, наприклад тертя, обмежують амплітуду, а ми їх не враховували. Змінимо тепер (23.2) так, щоб урахувати тертя. Зробити це зазвичай доволі важко, бо сили тертя дуже складні. Однак у багатьох випадках можна вважати, що сила тертя пропорційна швидкості руху об'єкта. Саме таке тертя заважає повільному руху тіла в маслі чи іншій в'язкій рідині. Коли предмет стоїть на місці, на нього не діють жодні сили, але чим швидше він рухається і чим швидше масло має обтікати цей предмет, тим більший опір. Таким чином, ми припустимо, що в (23.2), крім уже написаних членів, існує ще один — сила опору, пропорційна швидкості: F_j=—c(dx/dt). Зручно записати c як добуток m на іншу сталу γ; це трохи спростить рівняння. Ми вже проробляли такий фокус, коли заміняли k на mω²₀, щоб спростити обчислення. Отже, наше рівняння має вигляд

Знайдемо тепер значення ρ. Квадрат модуля будь-якого комплексного числа дорівнює добутку цього числа на комплексно спряжене, тобто

На фіг. 23.2 показано, як змінюється ρ² при зміні частоти (ρ² фізику цікавіше, ніж ρ, бо ρ² пропорційне квадрату амплітуди, а отже, і тій енергії, яку передає осцилятору зовнішня сила). Очевидно, що якщо γ мале, то основний член у (23.11) — це l/(ω²₀—ω²)², і відгук прямує до нескінченності, якщо ω наближається до ω₀. Але ця «нескінченність» — не справжня нескінченність, бо навіть якщо ω = ω₀, то все ще залишається доданок 1/γ²ω². Залежність зсуву фази від частоти зображена на фіг. 23.3.

Іншою мірою ширини резонансу може слугувати «добротність» Q=ω₀/γ (що вужчий резонанс, то більше Q); якщо Q=1000, то за шкалою частот ширина резонансної кривої дорівнює всього 0,001. Резонансній кривій на фіг. 23.2 відповідає Q=5. Явище резонансу важливе тому, що воно проявляється досить часто; опису деяких видів цих проявів ми присвятимо решту розділу. або, якщо покласти c= mγ і k = mω²₀ і поділити обидві частини на m, Це найзручніша форма рівняння. Якщо γ дуже мале, то мале й тертя, і, навпаки, великі значення γ відповідають величезному тертю. Як розв'язувати це нове лінійне рівняння? Припустімо, що зовнішня сила дорівнює F₀cos(ωt+Δ); можна було б підставити цей вираз у (23.6а) і спробувати розв'язати отримане рівняння, але ми застосуємо наш новий метод. Подамо F як дійсну частину F exp(iωt), а. х — як дійсну частину x exp(iωt) і підставимо ці комплексні числа в (23.6а). Власне кажучи, і підставляти нічого; уважно поглянувши на (23.6а), ви одразу скажете, що воно перетвориться на [Якби ми спробували розв'язати (23.6а) старим прямолінійним способом, то оцінили б належним чином магічний «комплексний» метод.] Поділивши обидві частини рівняння на exp(iωt), знайдемо відгук осцилятора х на силу F. Отже, відгук х дорівнює силі F, помноженій на якийсь множник. Цей множник не має ні назви, ні якоїсь власної літери, і ми позначатимемо його літерою R: Цей множник можна записати або як p+iq, або як ρ exp(iθ). Запишемо його у вигляді ρ exp(iθ) і подивимося, до чого це призведе. Зовнішня сила — це дійсна частина числа F₀exp(iΔ)exp(iωt), вона дорівнює F₀cos(ωt + Δ). Рівняння (23.9) говорить нам, що відгук х дорівнює FR; ми домовилися писати R у вигляді R=ρ exp(iθ); отже, Згадаймо (про це вже йшлося), що фізичне значення х, яке дорівнює дійсній частині комплексного числа х, дорівнює дійсній частині ρF₀exp[i(θ+Δ)]exp(iωt). Але ρ і F₀ — дійсні, а дійсна частина exp[i(θ+Δ+ωt)] — це просто cos(ωt + Δ + θ). Таким чином, Це означає, що амплітуда відгуку дорівнює амплітуді сили F, помноженій на коефіцієнт підсилення ρ; ми знайшли «розмах» коливань. Але це ще не все: видно, що х коливається не в такт із силою; фаза сили дорівнює Δ, а у я вона зсунута на додаткову величину θ. Отже, ρ і θ — це величина і фазовий зсув відгуку. Знак мінус виник через те, що tg(—θ) =—tgθ. Кут θ від'ємний за всіх значень ω, тобто зміщення х відстає за фазою від сили F. Іноді доводиться мати справу з формулою, трохи відмінною від (23.8); вона теж називається «резонансною» і, попри деяку відмінність від (23.8), описує ті самі явища. Річ у тім, що якщо значення γ дуже мале, то найцікавіша область резонансної кривої лежить біля частоти ω = ω₀, а тут при малих γ формулу (23.8) з великим ступенем точності можна замінити наближеною формулою. Оскільки ω²₀—ω² = (ω₀—ω)(ω₀+ω), то для ω, дуже близьких до ω₀, різниця квадратів майже дорівнює 2ω₀(ω₀—ω), a γω можна замінити на γω₀. Отже, ω²₀—ω²+ iγω ≈ 2ω₀(ω₀ - ω + iγ/2) і А тепер розв'яжіть самі таку задачу: зі збільшенням частоти значення ρ² спершу зростає, досягає при ω₀ максимуму, а потім знову спадає. На якій відстані від ω₀ розташовані частоти, яким відповідають значення ρ², удвічі менші за максимальне? Покажіть, що при дуже малому γ ці точки відстоять одна від одної на відстань Δω=γ. Це означає, що резонанс стає гострішим у міру того, як вплив тертя стає дедалі слабшим.