Комплексні числа і гармонічний рух

Ми знову говоритимемо в цьому розділі про гармонічний осцилятор, особливо про осцилятор, на який діє зовнішня сила. Для аналізу цих задач потрібно розвинути нову техніку. У попередньому розділі ми ввели поняття комплексного числа, яке складається з дійсної та уявної частин і яке можна зобразити на графіку. Дійсна частина числа зображатиметься абсцисою, а уявна — ординатою. Комплексне число а можна записати у вигляді а=а_r+ia_i, при такому записі індекс r позначає дійсну частину а, а індекс i — уявну. Поглянувши на фіг. 23.1, неважко зрозуміти, що комплексне число a=x+iy можна записати і так: x+iy = r exp(iθ), де r² = x² + y² = (x + iy)(x—iy) = aa * (а* — це комплексно спряжене до а число; воно виходить з а зміною знака i). Отже, комплексне число можна подати двома способами: явно виділити його дійсну й уявну частини або задати його модулем r і фазовим кутом θ. Якщо задані r і θ, то х і у дорівнюють r cosθ і r sinθ, і, навпаки, виходячи з числа x+iy, можна знайти r=√(х²+y²) і кут θ; tgθ дорівнює у/х (тобто відношенню уявної та дійсної частин). Щоб застосувати комплексні числа до розв'язання фізичних задач, зробимо такий трюк. Коли ми вивчали осцилятор, то мали справу із зовнішньою силою, пропорційною cos ωt. Таку силу F=F₀ cos ωt можна розглядати як дійсну частину комплексного числа F = F₀ exp(iωt), тому що exp(iωt) =cos ωt + i sin ωt. Такий перехід зручний: адже мати справу з експонентою легше, ніж з косинусом. Отже, трюк полягає в тому, що всі функції, які стосуються осцилятора, розглядаються як дійсні частини якихось комплексних функцій. Знайдене нами комплексне число F, звісно, не справжня сила, бо фізика не знає комплексних сил: усі сили мають лише дійсну частину, а уявній частині просто нізвідки взятися. Тим не менш ми говоритимемо «сила» F₀exp(iωt), хоча слід пам'ятати, що йдеться лише про її дійсну частину. Розглянемо ще один приклад. Як подати косинусоїдальну хвилю, фаза якої зсунулася на Δ? Звісно, як дійсну частину F₀exp [i(ωt—Δ)]; експоненту в цьому разі можна записати у вигляді exp [i(ωt—Δ)]=exp(iωt) exp (-iΔ). Алгебра експонент значно легша за алгебру синусів і косинусів; ось чому зручно використовувати комплексні числа. Часто ми писатимемо так:

Спробуємо застосувати наш метод до вже розв'язаної задачі про вимушені коливання осцилятора, тобто про осцилятор, на який діє зовнішня сила. Як і раніше, ми хочемо розв'язати рівняння (23.2), але почнімо з рівняння

Дашок над буквою вказуватиме, що ми маємо справу з комплексним числом, тобто Однак час почати розв'язувати рівняння, використовуючи комплексні числа, тоді ми побачимо, як застосовувати комплексні числа в реальних обставинах. Для початку спробуємо розв'язати рівняння де F — сила, що діє на осцилятор, а х — його зміщення. Хоча це й абсурдно, припустімо, що х і F — комплексні числа. Тоді х складається з дійсної частини й помноженої на i уявної частини; те саме стосується і F. Рівняння (23.2) в цьому разі означає Комплексні числа рівні, коли рівні їхні дійсні та уявні частини; отже, дійсна частина х задовольняє рівнянню, у правій частині якого стоїть дійсна частина сили. Обумовимо із самого початку, що такий поділ дійсних і уявних частин можливий не завжди, а лише у випадку лінійних рівнянь, тобто рівнянь, що містять х тільки в нульовому й першому степенях. Наприклад, якби рівняння містило член λх², то, зробивши підстановку x_r+ix_i, ми отримали б λ(x_r+ix_i)², і виділення дійсної та уявної частин привело б нас до λ(x²_r - x²_i) і 2iλx_rx_i. Отже, ми бачимо, що дійсна частина рівняння містить у цьому разі член —λх²_i. Ми отримали зовсім не те рівняння, яке збиралися розв'язувати. де Fe^iωt — комплексне число. Звісно, х — теж комплексне число, але запам'ятаймо правило: щоб знайти величини, які нас цікавлять, треба взяти дійсну частину х. Знайдемо розв'язок (23.3), що описує вимушені коливання. Про інші розв'язки поговоримо згодом. Цей розв'язок має ту саму частоту, що й зовнішня (прикладена) сила. Коливання, крім того, характеризується амплітудою і фазою, тому якщо подати зміщення числом х, то його модуль скаже нам про розмах коливань, а фаза комплексного числа — про часову затримку коливання. Скористаймося тепер чудовою властивістю експоненти: (d/dt)[x exp(iωt)] = iωx exp(iωt). Диференціюючи експоненційну функцію, ми опускаємо вниз експоненту, роблячи її простим множником. Диференціюючи ще раз, ми знову приписуємо такий самий множник, тому дуже просто написати рівняння для х: кожне диференціювання за часом треба замінити множенням на iω. (Диференціювання стає тепер таким самим простим, як і множення! Ідея використовувати експоненційні функції в лінійних диференціальних рівняннях майже настільки ж грандіозна, як винахід логарифмів, які замінили множення додаванням. Тут диференціювання замінюється множенням.) Таким чином, ми отримуємо рівняння [Ми опустили спільний множник e^iωt.] Дивіться, як усе просто! Диференціальне рівняння негайно зводиться до суто алгебраїчного; одразу ж можна написати його розв'язок оскільки (iω)² =—ω². Розв'язок можна дещо спростити, підставивши k/m = ω²₀, тоді Це, звісно, той самий розв'язок, який ми вже отримували раніше. Оскільки m(ω²₀ — ω²) — дійсне число, то фазові кути F і х збігаються (або відрізняються на 180°, якщо ω²>ω²₀). Про це теж уже йшлося. Модуль х, який визначає розмах коливань, пов'язаний з модулем F множником 1/m(ω²₀ — ω²); цей множник стає дуже великим, якщо ω наближається до ω₀. Таким чином, можна досягти дуже сильного відгуку, якщо прикласти до осцилографу потрібну частоту ω (якщо з потрібною частотою штовхати підвішений на мотузці маятник, то він підіймається дуже високо).