Електричний резонанс

Найпростіші й найширші технічні застосування резонанс знайшов в електриці. Існує доволі багато пристроїв, з яких складаються електричні кола. Їх часто називають пасивними елементами кола, і бувають вони трьох типів, хоча в кожен елемент одного типу завжди домішано трохи елементів інших типів. Перш ніж докладно описати ці елементи, зауважимо, що наше уявлення про механічний осцилятор як про масу, підвішену до кінця пружини, — лише наближення. У «масі» зосереджена зовсім не вся маса системи: пружина теж має якусь масу, пружина теж інерційна. Так само «пружина» не складається з однієї пружини, маса теж трохи пружна, а не абсолютно тверда, як це може здатися. Підстрибуючи вгору й униз, вона трохи вигинається під поштовхами пружини. Так само все відбувається і в електриці. Розташувати всі предмети за «елементами кола» з чистими, ідеальними характеристиками можна лише приблизно. Оскільки в нас немає часу обговорювати межі таких наближень, ми просто припустимо, що вони допустимі. Отже, про три елементи кола. Перший називається ємністю (фіг. 23.4); прикладом ємності можуть слугувати дві металеві пластинки, розділені тонким шаром діелектрика. Якщо пластинки зарядити, то між ними виникає різниця потенціалів. Така сама різниця потенціалів буде між точками А і В, бо за будь-якої додаткової різниці потенціалів уздовж з'єднувальних дротів заряди стечуть по дротах. Таким чином, заданій різниці потенціалів V між пластинками відповідають певні заряди +q і —q на кожній пластинці. Між пластинками існує якесь електричне поле; ми навіть вивели відповідну формулу для нього (див. розд. 13 і 14)

Другий елемент кола називається опором; цей елемент чинить опір електричному струму, що тече крізь нього. Виявляється, що всі металеві дроти, а також багато інших матеріалів чинять опір струму однаково; якщо до кінців шматка такого матеріалу прикласти різницю потенціалів, то електричний струм у шматку I=dq/dt буде пропорційний прикладеній різниці потенціалів

Якщо уявляти собі заряд, зосереджений в ємності, як щось аналогічне зміщенню механічної системи х, то електричний струм dq/dt аналогічний швидкості, опір R аналогічний коефіцієнту опору c, а 1/С аналогічна сталій жорсткості пружини k. Найцікавіше в усьому цьому те, що існує елемент кола, аналогічний масі! Це спіраль, яка породжує всередині себе магнітне поле, коли крізь неї проходить струм. Зміна магнітного поля породжує на кінцях спіралі різницю потенціалів, пропорційну dI/dt. (Ця властивість спіралі використовується в трансформаторах.) Магнітне поле пропорційне струму, а наведена різниця потенціалів (так її називають) пропорційна швидкості зміни струму

Припустімо, ми збираємо коло з трьох послідовно з'єднаних елементів (фіг. 23.5); прикладена між точками 1 і 2 різниця потенціалів змусить заряди рухатися колом, тоді на кінцях кожного елемента кола теж виникає різниця потенціалів: на кінцях індуктивності V_L=L(d²q/dt²), на опорі V_R = R(dq/dt), а на ємності V_c = q/C. Сума цих напруг дає нам повну напругу V:

де d — відстань між пластинками, А — площа пластинок. Зауважимо, що різниця потенціалів лінійно залежить від заряду. Якщо побудувати ємність не з паралельних пластин, а надати окремим електродам якусь іншу форму, різниця потенціалів буде, як і раніше, пропорційна заряду, але сталу пропорційності буде не так уже й легко розрахувати. Однак треба знати лише одне: різниця потенціалів між кінцями ємності пропорційна заряду V=q/C; множник пропорційності дорівнює 1/С (С і є ємність об'єкта). Коефіцієнт пропорційності називають опором R. Співвідношення між струмом і різницею потенціалів вам, напевно, уже відоме. Це закон Ома. Коефіцієнт L  — це коефіцієнт самоіндукції; він є електричним аналогом маси. Ми бачимо, що це рівняння точно збігається з механічним рівнянням (23.6); розв'язуватимемо його точно так само. Припустімо, що V(t) осцилює; для цього треба з'єднати коло з генератором синусоїдальних коливань. Тоді можна подати V(t) як комплексне число V, пам'ятаючи, що для визначення справжньої напруги V(t) це число треба ще помножити на exp(iωt) і взяти дійсну частину. Аналогічно можна підійти і до заряду q, а тому напишемо рівняння, яке точно повторює (23.8): друга похідна q — це (iω)²q, а перша — це (iω)q. Рівняння (23.17) перейде в де ω²₀ = 1/LC, a γ=R/L. Ми отримали той самий знаменник, що й у механічній задачі, з усіма його резонансними властивостями! У табл. 23.1 наведено перелік аналогій між електричними й механічними величинами. Ще одне суто технічне зауваження. У книгах з електрики використовують інші позначення. (Дуже часто в книгах на одну й ту саму тему, написаних людьми різних спеціальностей, використовуються різні позначення.) По-перше, для позначення √—1 використовують літеру j, а не i (літерою i мусить позначатися струм!). По-друге, інженери надають перевагу співвідношенню між V та I, а не між V і q. Вони так більше звикли. Оскільки I=dq/dt=iωq, то замість q можна підставити I/iω, і тоді Можна трохи змінити вихідне диференціальне рівняння (23.17), щоб воно виглядало звичніше. У книгах часто трапляється таке співвідношення: У всякому разі ми бачимо, що співвідношення (23.19) між напругою V і струмом I те саме, що й (23.18), і відрізняється лише тим, що останнє ділиться на iω. Комплексне число R+iωL+1/iωC інженери-електрики часто називають особливим ім'ям: комплексний імпеданс Z. Введення нової літери дає змогу просто записати співвідношення між струмом і опором у вигляді V=ZI. Пояснюється ця пристрасть інженерів тим, що замолоду вони вивчали тільки кола постійного струму і знали тільки опори та закон Ома: V=RI. Тепер вони більш освічені і мають уже кола змінного струму, але хочуть, щоб рівняння були ті самі. Ось вони й пишуть V=ZI, і єдина різниця в тому, що тепер опір замінено складнішою річчю: комплексним числом. Вони наполягають на тому, що не можуть використовувати прийняте в усьому світі позначення уявної одиниці і пишуть j; справді дивно, що вони не вимагають, щоб замість літери Z писали літеру R (Багато хвилювань завдають їм розмови про густину струму; її вони теж позначають літерою j. Складнощі науки багато в чому пов'язані з труднощами в позначеннях, одиницях та інших вигадках людини, про що сама природа й не підозрює.)