Наступний тип хвиль, про які нам слід поговорити,— це хвилі в твердому тілі. Ми вже розглянули звукові хвилі в рідині й газі, а між ними і звуковими хвилями в твердому тілі є безпосередня аналогія. Якщо різко штовхнути тверде тіло, то воно стиснеться. Воно чинить опір стисканню, і в ньому виникнуть хвилі, аналогічні звуковим. Однак у твердому тілі можуть бути хвилі й іншого роду, яких не буває в рідині. Якщо ми збудимо коливання твердого тіла за допомогою бокового тиску (це називається зсувом), то тіло прагне повернутися у початкове положення. Саме цим, за визначенням, тверде тіло відрізняється від рідкого. Якщо викривити рідину і потримати її так трохи, щоб вона заспокоїлася, а потім відпустити, то вона залишиться в тому самому стані, але якщо ми візьмемо тверде тіло, схоже на тремтячий шматок желе, натиснемо на нього і відпустимо, то воно повернеться назад, а в тілі виникає хвиля зсуву, яка поширюється так само, як і хвиля стиснення. У всіх випадках швидкість цих хвиль менша за швидкість поздовжніх хвиль. У якомусь відношенні хвилі зсуву більше нагадують світлові хвилі, бо тут ми теж маємо справу з поляризацією. У звуку немає жодної поляризації, це просто хвиля стиснення, а світлові коливання мають характерну орієнтацію, перпендикулярну до напрямку їхнього поширення.
Отже, у твердому тілі можуть бути хвилі обох сортів. По-перше, там поширюються хвилі стиснення, аналогічні звуку в повітрі, і, по-друге, хвилі зсуву. Якщо наше тверде тіло не кристал, то хвиля зсуву може бути поляризована в будь-якому напрямку. (Звісно, всі тверді тіла — кристали, але якщо ми візьмемо шматок, що складається з мікрокристалів усіх орієнтацій, то кристалічна анізотропія усереднюється.)
Є ще одне цікаве питання, що стосується звукових хвиль. Що вийде, якщо довжина хвилі в твердому тілі стає все меншою і меншою? До яких пір це може тривати? Зрозуміло, що вона не може стати меншою за відстань між атомами, бо якщо під хвилею ми розуміємо таке явище, коли одна точка йде вниз, а наступна— вгору і т. д., то найкоротша можлива довжина хвилі при цьому, очевидно, дорівнює міжатомній відстані. Вам відомо, що коливання можуть бути як поздовжні, так і поперечні, довгохвильові й короткохвильові.
Якщо ми розглядаємо довжини хвиль, порівнянні з міжатомною відстанню, то швидкість уже не буде сталою; виникає дисперсійний ефект, коли швидкість стає залежною від хвильового числа. А найвища гармоніка поперечних хвиль все ж має характеризуватися саме тим, що кожні два сусідні атоми роблять щось протилежне одне одному.
З атомістичної точки зору ситуація тут нагадує два зв'язані маятники, про які ми вже говорили. У них можуть бути два види власних коливань: один — коли вони гойдаються разом, і інший — коли в протилежні боки. Так що хвилі в твердому тілі можна розглядати і з іншої точки зору — як коливання зв'язаних гармонічних осциляторів, подібних до величезного числа зв'язаних маятничків, причому найвища гармоніка виходить, коли маятнички коливаються в протилежні боки, а найнижчі — при інших співвідношеннях фаз.
Ці найкоротші хвилі настільки малі, що зазвичай їх неможливо отримати технічно. Однак вони дуже цікаві, оскільки властивості цих коротких звукових хвиль допомагають нам пояснити в термодинамічній теорії твердого тіла його теплові властивості, зокрема питому теплоємність. Перехід до гранично коротких звукових хвиль означає перехід до індивідуального руху атомів; це, в кінцевому підсумку, одне й те саме.
Дуже цікавим прикладом звукових хвиль у твердому тілі є хвилі, що йдуть по земній кулі, як поздовжні, так і поперечні. Хоча нам і не відомо чому, але всередині Землі час від часу відбуваються землетруси. Одні породи зсуваються відносно інших, і цей рух подібний до дуже низького звуку. З такого джерела виходять і подорожують по всій Землі хвилі, подібні до звукових, і хоча їхня довжина значно більша за довжину звичайних звукових хвиль, все ж це звукові хвилі. Наша Земля не однорідна: тиск, густина, стисливість і т. д. змінюються зі зміною глибини, а тому змінюється і швидкість. Виникає щось схоже на показник заломлення, і хвилі йдуть не прямим шляхом, а по деякій кривій. Крім того, картина ускладнюється тим, що поздовжні й поперечні хвилі поширюються з різною швидкістю, а тому й розв'язки для них будуть різними. Якщо ми в якомусь місці поставимо сейсмограф і спостерігатимемо, як стрибає його самописець після того, як десь відбувся землетрус, то ми побачимо не просто якісь неправильні стрибки. Ми побачимо, як самописець спочатку застрибає, потім заспокоїться, потім знову застрибає. Більш конкретні деталі того, що відбувається, залежать від положення сейсмографа. Якщо він розташований достатньо близько до місця землетрусу, то спочатку ми приймемо поздовжні хвилі від збурення, а вже потім, за кілька секунд,— поперечні, бо вони йдуть повільніше. Вимірюючи різницю часу між їхніми приходами, можна сказати, наскільки далеко відбувся землетрус, звісно, якщо ми достатньо добре знаємо швидкості й склад внутрішніх областей.
На фіг. 51.6 показано приклад поведінки різних видів хвиль у Землі. Два сорти хвиль позначені різними значками. Якщо в якомусь місці (назвемо його «джерело») відбувся землетрус, то поперечні й поздовжні хвилі, що йдуть прямим шляхом, прийдуть на станцію в різні моменти часу. Крім того, виникнуть відбиття від меж неоднорідності, що дають у результаті інші шляхи й часи. Подібні дослідження показали, що в Землі є якесь ядро, що не проводить поперечних хвиль. Однак навіть якщо станція розташована діаметрально протилежно джерелу, то поперечні хвилі все ж приходять, але з неправильною фазою. Це виходить від того, що поперечні хвилі, які падають похило на поверхню, що розділяє дві речовини, завжди породжують дві нові хвилі: поперечну й поздовжню. Але всередині ядра Землі поперечні хвилі не поширюються (принаймні на відміну від поздовжніх хвиль для них цього не виявлено). Потім на межі ядра обидва види хвиль виникають знову і потрапляють на станцію.
Саме за поведінкою хвиль, викликаних землетрусами, було виявлено, що поперечні хвилі не можуть поширюватися в деякій сфері всередині Землі. Це означає, що центр Землі рідкий у тому сенсі, що він не проводить поперечних хвиль. Вивчення землетрусів — це єдине джерело наших відомостей про внутрішню будову Землі. Таким чином, у результаті великої кількості спостережень на різних станціях за період багатьох землетрусів було з'ясовано всі деталі; відомо все: швидкості, криві і т. д. Ми знаємо швидкості різних сортів хвиль на будь-якій глибині. А знаючи це, ми, отже, можемо з'ясувати, якими є власні гармоніки Землі, бо нам відома швидкість поширення звукових хвиль: іншими словами, відомі пружні властивості на будь-якій глибині. Припустімо, що ми приплюснули земний еліпсоїд і потім відпустили його. Задача визначення періоду й форми вільних коливань зводиться просто до питання про суперпозицію хвиль, що йдуть по еліпсоїду. Ми вже з'ясували, що при подібному збуренні виникає безліч гармонік, починаючи від найнижчої, яка для Землі еліпсоїдальна, і аж до вищих і складніших.
Чилійський землетрус у травні 1960 р. спричинив такий «шум», що його відлуння багато разів обійшло навколо Землі. Якраз до цього часу були виготовлені нові високочутливі сейсмографи, за допомогою яких визначалися основні гармоніки Землі й порівнювалися з величинами, обчисленими з теорії звуку за відомими швидкостями, знайденими з інших незалежних землетрусів. Результат цього експерименту показано на фіг. 51.7, де відкладено силу сигналу залежно від його частоти (фур'є-аналіз). Зауважте, що одні з прийнятих частот виявлялися сильнішими за інші; спостерігалися дуже чіткі максимуми. Це і є власні частоти Землі, оскільки вони є головними частотами її коливань.
Отже, у твердому тілі можуть бути хвилі обох сортів. По-перше, там поширюються хвилі стиснення, аналогічні звуку в повітрі, і, по-друге, хвилі зсуву. Якщо наше тверде тіло не кристал, то хвиля зсуву може бути поляризована в будь-якому напрямку. (Звісно, всі тверді тіла — кристали, але якщо ми візьмемо шматок, що складається з мікрокристалів усіх орієнтацій, то кристалічна анізотропія усереднюється.)
Є ще одне цікаве питання, що стосується звукових хвиль. Що вийде, якщо довжина хвилі в твердому тілі стає все меншою і меншою? До яких пір це може тривати? Зрозуміло, що вона не може стати меншою за відстань між атомами, бо якщо під хвилею ми розуміємо таке явище, коли одна точка йде вниз, а наступна— вгору і т. д., то найкоротша можлива довжина хвилі при цьому, очевидно, дорівнює міжатомній відстані. Вам відомо, що коливання можуть бути як поздовжні, так і поперечні, довгохвильові й короткохвильові.
Якщо ми розглядаємо довжини хвиль, порівнянні з міжатомною відстанню, то швидкість уже не буде сталою; виникає дисперсійний ефект, коли швидкість стає залежною від хвильового числа. А найвища гармоніка поперечних хвиль все ж має характеризуватися саме тим, що кожні два сусідні атоми роблять щось протилежне одне одному.
З атомістичної точки зору ситуація тут нагадує два зв'язані маятники, про які ми вже говорили. У них можуть бути два види власних коливань: один — коли вони гойдаються разом, і інший — коли в протилежні боки. Так що хвилі в твердому тілі можна розглядати і з іншої точки зору — як коливання зв'язаних гармонічних осциляторів, подібних до величезного числа зв'язаних маятничків, причому найвища гармоніка виходить, коли маятнички коливаються в протилежні боки, а найнижчі — при інших співвідношеннях фаз.
Ці найкоротші хвилі настільки малі, що зазвичай їх неможливо отримати технічно. Однак вони дуже цікаві, оскільки властивості цих коротких звукових хвиль допомагають нам пояснити в термодинамічній теорії твердого тіла його теплові властивості, зокрема питому теплоємність. Перехід до гранично коротких звукових хвиль означає перехід до індивідуального руху атомів; це, в кінцевому підсумку, одне й те саме.
Дуже цікавим прикладом звукових хвиль у твердому тілі є хвилі, що йдуть по земній кулі, як поздовжні, так і поперечні. Хоча нам і не відомо чому, але всередині Землі час від часу відбуваються землетруси. Одні породи зсуваються відносно інших, і цей рух подібний до дуже низького звуку. З такого джерела виходять і подорожують по всій Землі хвилі, подібні до звукових, і хоча їхня довжина значно більша за довжину звичайних звукових хвиль, все ж це звукові хвилі. Наша Земля не однорідна: тиск, густина, стисливість і т. д. змінюються зі зміною глибини, а тому змінюється і швидкість. Виникає щось схоже на показник заломлення, і хвилі йдуть не прямим шляхом, а по деякій кривій. Крім того, картина ускладнюється тим, що поздовжні й поперечні хвилі поширюються з різною швидкістю, а тому й розв'язки для них будуть різними. Якщо ми в якомусь місці поставимо сейсмограф і спостерігатимемо, як стрибає його самописець після того, як десь відбувся землетрус, то ми побачимо не просто якісь неправильні стрибки. Ми побачимо, як самописець спочатку застрибає, потім заспокоїться, потім знову застрибає. Більш конкретні деталі того, що відбувається, залежать від положення сейсмографа. Якщо він розташований достатньо близько до місця землетрусу, то спочатку ми приймемо поздовжні хвилі від збурення, а вже потім, за кілька секунд,— поперечні, бо вони йдуть повільніше. Вимірюючи різницю часу між їхніми приходами, можна сказати, наскільки далеко відбувся землетрус, звісно, якщо ми достатньо добре знаємо швидкості й склад внутрішніх областей.
На фіг. 51.6 показано приклад поведінки різних видів хвиль у Землі. Два сорти хвиль позначені різними значками. Якщо в якомусь місці (назвемо його «джерело») відбувся землетрус, то поперечні й поздовжні хвилі, що йдуть прямим шляхом, прийдуть на станцію в різні моменти часу. Крім того, виникнуть відбиття від меж неоднорідності, що дають у результаті інші шляхи й часи. Подібні дослідження показали, що в Землі є якесь ядро, що не проводить поперечних хвиль. Однак навіть якщо станція розташована діаметрально протилежно джерелу, то поперечні хвилі все ж приходять, але з неправильною фазою. Це виходить від того, що поперечні хвилі, які падають похило на поверхню, що розділяє дві речовини, завжди породжують дві нові хвилі: поперечну й поздовжню. Але всередині ядра Землі поперечні хвилі не поширюються (принаймні на відміну від поздовжніх хвиль для них цього не виявлено). Потім на межі ядра обидва види хвиль виникають знову і потрапляють на станцію.Саме за поведінкою хвиль, викликаних землетрусами, було виявлено, що поперечні хвилі не можуть поширюватися в деякій сфері всередині Землі. Це означає, що центр Землі рідкий у тому сенсі, що він не проводить поперечних хвиль. Вивчення землетрусів — це єдине джерело наших відомостей про внутрішню будову Землі. Таким чином, у результаті великої кількості спостережень на різних станціях за період багатьох землетрусів було з'ясовано всі деталі; відомо все: швидкості, криві і т. д. Ми знаємо швидкості різних сортів хвиль на будь-якій глибині. А знаючи це, ми, отже, можемо з'ясувати, якими є власні гармоніки Землі, бо нам відома швидкість поширення звукових хвиль: іншими словами, відомі пружні властивості на будь-якій глибині. Припустімо, що ми приплюснули земний еліпсоїд і потім відпустили його. Задача визначення періоду й форми вільних коливань зводиться просто до питання про суперпозицію хвиль, що йдуть по еліпсоїду. Ми вже з'ясували, що при подібному збуренні виникає безліч гармонік, починаючи від найнижчої, яка для Землі еліпсоїдальна, і аж до вищих і складніших.
Чилійський землетрус у травні 1960 р. спричинив такий «шум», що його відлуння багато разів обійшло навколо Землі. Якраз до цього часу були виготовлені нові високочутливі сейсмографи, за допомогою яких визначалися основні гармоніки Землі й порівнювалися з величинами, обчисленими з теорії звуку за відомими швидкостями, знайденими з інших незалежних землетрусів. Результат цього експерименту показано на фіг. 51.7, де відкладено силу сигналу залежно від його частоти (фур'є-аналіз). Зауважте, що одні з прийнятих частот виявлялися сильнішими за інші; спостерігалися дуже чіткі максимуми. Це і є власні частоти Землі, оскільки вони є головними частотами її коливань.
Зображення
Іншими словами, якщо весь рух Землі зводиться до суперпозиції безлічі різних гармонік, то можна сподіватися, що запис нерегулярних поштовхів на будь-якій станції дасть ту саму суперпозицію багатьох частот. Якщо проаналізувати це в термінах частот, то ми зможемо визначити характеристичні частоти Землі. Тонкі вертикальні лінії на рисунку зображують розраховані частоти, і ми бачимо чудову узгодженість, яка переконує нас, що теорія звуку цілком працює і всередині Землі.
Дуже цікавий факт виявляється на фіг. 51.8, де представлені дуже точні вимірювання (з ще більшою роздільною здатністю) найнижчої еліпсоїдальної гармоніки. Зауважте, що тут не один, а два трохи відмінних максимуми: перший — з періодом 54,7 хв і другий — 53,1 хв. Природа цих двох максимумів не була відома, коли їх виявили, хоча відтоді її могли знайти. Існують принаймні два правдоподібні пояснення. Одне з них — це можлива асиметрія в розподілі речовини Землі, яка може дати два подібні максимуми. Інше, ще цікавіше пояснення полягає в такому. Уявіть хвилі, що йдуть від джерела навколо Землі у двох напрямках. Якщо ми в рівняннях руху врахуємо ефект обертання Землі, яким зазвичай нехтували при аналізі, то швидкості цих хвиль виявляться різними. Рух в обертовій системі через дію коріолісової сили змінюється, і це може викликати спостережуване розщеплення.
Коротко про метод отримання цих кривих. На сейсмографі ми записуємо не залежність амплітуди від частоти, а переміщення як функцію часу, причому завжди якоїсь дуже неправильної й химерної форми.
Щоб знайти з неї частку різних синусоподібних хвиль для всіх частот, ми вже знаємо, що потрібно робити. Фокус полягає в множенні отриманих даних на синусоподібну хвилю даної частоти й інтегруванні, тобто усередненні; при цьому усередненні всі інші частоти зникають.
Таким чином, на рисунках фактично показано графіки інтегралів від добутку отриманих даних на синусоподібні хвилі з різним числом періодів за хвилину.
Дуже цікавий факт виявляється на фіг. 51.8, де представлені дуже точні вимірювання (з ще більшою роздільною здатністю) найнижчої еліпсоїдальної гармоніки. Зауважте, що тут не один, а два трохи відмінних максимуми: перший — з періодом 54,7 хв і другий — 53,1 хв. Природа цих двох максимумів не була відома, коли їх виявили, хоча відтоді її могли знайти. Існують принаймні два правдоподібні пояснення. Одне з них — це можлива асиметрія в розподілі речовини Землі, яка може дати два подібні максимуми. Інше, ще цікавіше пояснення полягає в такому. Уявіть хвилі, що йдуть від джерела навколо Землі у двох напрямках. Якщо ми в рівняннях руху врахуємо ефект обертання Землі, яким зазвичай нехтували при аналізі, то швидкості цих хвиль виявляться різними. Рух в обертовій системі через дію коріолісової сили змінюється, і це може викликати спостережуване розщеплення.Коротко про метод отримання цих кривих. На сейсмографі ми записуємо не залежність амплітуди від частоти, а переміщення як функцію часу, причому завжди якоїсь дуже неправильної й химерної форми.
Щоб знайти з неї частку різних синусоподібних хвиль для всіх частот, ми вже знаємо, що потрібно робити. Фокус полягає в множенні отриманих даних на синусоподібну хвилю даної частоти й інтегруванні, тобто усередненні; при цьому усередненні всі інші частоти зникають.
Таким чином, на рисунках фактично показано графіки інтегралів від добутку отриманих даних на синусоподібні хвилі з різним числом періодів за хвилину.