Наступний цікавий тип хвиль, які, безсумнівно, бачив кожен і які зазвичай в елементарних курсах слугують прикладом хвиль,— це хвилі на поверхні води. Ви скоро переконаєтеся, що невдалішого прикладу вигадати важко, бо вони анітрохи не схожі ні на звук, ні на світло; тут зібралися всі труднощі, які тільки можуть бути в хвилях. Давайте почнемо з довгих хвиль на глибокій воді. Якщо вважати океан нескінченно глибоким і на його поверхні відбуваються якісь збурення, то виникнуть хвилі. Взагалі кажучи, можливі будь-які збурення, але синусоїдальний рух із дуже невеликим збуренням дає хвилі, що нагадують звичайні гладкі океанські хвилі, які йдуть до берега. Вода, звісно, в середньому залишається на місці, а рухаються самі хвилі. То що ж це за рух — поперечний чи поздовжній? Він не може бути ні тим, ні іншим: ні поперечним, ні поздовжнім. Хоча в кожному даному місці горби чергуються із западинами, це не може бути рухом вгору й вниз просто через закон збереження кількості води. Куди має подітися вода з западини? Адже вона практично нестислива. Швидкість хвиль стиснення, тобто звуку у воді, в багато разів більша: ми зараз їх не розглядаємо. Отже, для нас зараз вода нестислива, тому при утворенні западини вода з цього місця може рухатися лише вбік. Так воно й виходить насправді: частинки води поблизу поверхні рухатимуться приблизно по колу. Якось, коли ви ніжитиметеся на воді, лежачи на крузі, і прийде такий гладкий вал, погляньте на сусідні предмети, і ви побачите, що вони рухаються по колах. Так що картина виходить несподівана: тут ми маємо справу зі сумішшю поздовжніх і поперечних хвиль. Зі збільшенням глибини кола зменшуються, поки на достатній глибині від них нічого не залишиться (фіг. 51.9).
Зображення
Дуже цікаво визначити швидкість таких хвиль. Це має бути якоюсь комбінацією густини води, прискорення сили тяжіння, яка в даному разі є відновлювальною силою, і, можливо, довжини хвилі та глибини. Якщо ми розглянемо випадок нескінченної глибини, то швидкість більше не залежатиме від неї. Але яку б формулу для фазової швидкості хвиль ми не взяли, вона має містити ці величини в такій комбінації, щоб давати правильну розмірність. Випробувавши безліч різних способів, ми знайдемо, що лише одна комбінація g і λ може дати нам розмірність швидкості, а саме √(gλ), яка зовсім не включає густини. Насправді ця формула для фазової швидкості не зовсім точна, і повний аналіз динаміки, в який ми не будемо заглиблюватися, показує, що все дійсно вийде так, як у нас, за винятком √(2π), тобто
Зображення
Цікаво, що довгі хвилі біжать швидше за короткі. Так що коли моторний човен, який проходить удалині, створює хвилі, то через деякий проміжок часу вони досягнуть берега, але спочатку це будуть рідкі сплески, оскільки першими приходять довгі хвилі. Потім хвилі, що приходять, стають все коротшими і коротшими, бо швидкість спадає як квадратний корінь із довжини хвилі.
«Але ж це невірно,— може заперечити хтось,— адже щоб робити таке твердження, ми повинні дивитися на групову швидкість». Правильно, звісно. Формула для фазової швидкості не говорить нам про те, що приходить першим; про це може сказати нам лише групова швидкість. Тож ми маємо отримати групову швидкість, і ми зможемо показати, що вона дорівнює половині фазової швидкості. Для цього потрібно лише згадати, що фазова швидкість поводиться як квадратний корінь із довжини хвилі. Так само, тобто як квадратний корінь із довжини хвилі, поводиться і групова швидкість. Але як може групова швидкість бути вдвічі меншою за фазову? Погляньте на групу хвиль, викликаних човном, що проходить повз, і простежте за якимось певним гребенем. Ви виявите, що він біжить разом із групою, але поступово стає все меншим і меншим, а дійшовши до переднього фронту, зовсім вмирає. Але таємничим і незбагненним чином на зміну йому із заднього фронту піднімається слабенька хвиля, і стає вона все сильнішою і сильнішою. Коротше кажучи, по групі рухаються хвилі, тоді як сама група рухається вдвічі повільніше за ці хвилі.
Оскільки групова й фазова швидкості не рівні одна одній, то хвилі, викликані рухомим об'єктом, будуть уже не просто конічними, а значно складнішими й цікавішими. Ви можете побачити це на фіг. 51.10, де показані хвилі, викликані човном, що рухається по воді. Зауважте, що вони зовсім не схожі на те, що ми отримували для звуку (коли швидкість не залежить від довжини хвилі), де фронт хвилі був просто конусом, що поширюється в боки. Замість нього ми отримали хвилі позаду рухомого об'єкта, фронт яких перпендикулярний до його руху, та ще й невеликі хвилі, що рухаються під іншими кутами з боків. Всю цю картину руху хвиль в цілому можна дуже гарно відтворити, знаючи лише, що фазова швидкість пропорційна квадратному кореню з довжини хвилі. Весь фокус полягає в тому, що картина хвиль стаціонарна відносно човна (що рухається зі сталою швидкістю); всі інші види хвиль відстануть від неї.
Досі ми розглядали довгі хвилі, для яких відновлювальною силою була сила тяжіння. Але коли хвилі стають дуже короткими, то основною відновлювальною силою виявляється капілярне притягання, тобто енергія поверхневого натягу. Для хвиль поверхневого натягу фазова швидкість дорівнює
«Але ж це невірно,— може заперечити хтось,— адже щоб робити таке твердження, ми повинні дивитися на групову швидкість». Правильно, звісно. Формула для фазової швидкості не говорить нам про те, що приходить першим; про це може сказати нам лише групова швидкість. Тож ми маємо отримати групову швидкість, і ми зможемо показати, що вона дорівнює половині фазової швидкості. Для цього потрібно лише згадати, що фазова швидкість поводиться як квадратний корінь із довжини хвилі. Так само, тобто як квадратний корінь із довжини хвилі, поводиться і групова швидкість. Але як може групова швидкість бути вдвічі меншою за фазову? Погляньте на групу хвиль, викликаних човном, що проходить повз, і простежте за якимось певним гребенем. Ви виявите, що він біжить разом із групою, але поступово стає все меншим і меншим, а дійшовши до переднього фронту, зовсім вмирає. Але таємничим і незбагненним чином на зміну йому із заднього фронту піднімається слабенька хвиля, і стає вона все сильнішою і сильнішою. Коротше кажучи, по групі рухаються хвилі, тоді як сама група рухається вдвічі повільніше за ці хвилі.
Оскільки групова й фазова швидкості не рівні одна одній, то хвилі, викликані рухомим об'єктом, будуть уже не просто конічними, а значно складнішими й цікавішими. Ви можете побачити це на фіг. 51.10, де показані хвилі, викликані човном, що рухається по воді. Зауважте, що вони зовсім не схожі на те, що ми отримували для звуку (коли швидкість не залежить від довжини хвилі), де фронт хвилі був просто конусом, що поширюється в боки. Замість нього ми отримали хвилі позаду рухомого об'єкта, фронт яких перпендикулярний до його руху, та ще й невеликі хвилі, що рухаються під іншими кутами з боків. Всю цю картину руху хвиль в цілому можна дуже гарно відтворити, знаючи лише, що фазова швидкість пропорційна квадратному кореню з довжини хвилі. Весь фокус полягає в тому, що картина хвиль стаціонарна відносно човна (що рухається зі сталою швидкістю); всі інші види хвиль відстануть від неї.Досі ми розглядали довгі хвилі, для яких відновлювальною силою була сила тяжіння. Але коли хвилі стають дуже короткими, то основною відновлювальною силою виявляється капілярне притягання, тобто енергія поверхневого натягу. Для хвиль поверхневого натягу фазова швидкість дорівнює
Зображення
де T — поверхневий натяг, а ρ — густина. Тут все навпаки: чим коротша довжина хвиль, тим більшою виявляється фазова швидкість. Якщо ж діють і сила тяжіння, і капілярна сила, як це зазвичай буває, то ми отримуємо комбінацію
Зображення
де k=2π/λ — хвильове число. Як бачите, швидкість хвиль на воді — річ дійсно доволі складна. На фіг. 51.11 показана фазова швидкість як функція довжини хвилі. Вона велика для дуже коротких хвиль, велика для дуже довгих хвиль, але між ними існує певна мінімальна швидкість поширення. Виходячи з цієї формули, можна обчислити і групову швидкість: вона виявляється рівною 3/2 фазової швидкості для брижів і 1/2 фазової швидкості для хвиль «тяжіння». Ліворуч від мінімуму групова швидкість більша за фазову, а праворуч групова швидкість менша. З цим фактом пов'язано кілька цікавих явищ. Оскільки групова швидкість зі зменшенням довжини хвилі швидко збільшується, то, якщо ми створимо якісь збурення, виникнуть хвилі відповідної довжини, які йдуть із мінімальною швидкістю, а попереду них із більшою швидкістю побіжать короткі й дуже довгі хвилі. У будь-якій водоймі можна легко побачити дуже короткі хвилі, а от довгі хвилі спостерігати важче.Таким чином, ми переконалися, що рябизна, яка так часто використовується для ілюстрації простих хвиль, насправді набагато складніша й цікавіша: у неї немає різкого хвильового фронту, як у випадку простих хвиль, подібних до звуку чи світла. Основна хвиля, яка виривається вперед, складається з дрібної ряби. Завдяки дисперсії різке збурення поверхні води не призводить до різкої хвилі. Першими все одно йдуть дуже дрібні хвилі. У будь-якому разі, коли по воді з деякою швидкістю рухається об'єкт, то виникає дуже складна картина, оскільки різні хвилі йдуть з різною швидкістю. Взявши корито з водою, можна легко продемонструвати, що найшвидшими будуть дрібні капілярні хвилі, а вже за ними йдуть більші. Крім того, нахиливши корито, можна побачити, що там, де менша глибина, менша й швидкість. Якщо хвиля йде під якимось кутом до лінії максимального нахилу, то вона завертає в бік цієї лінії. Таким способом можна продемонструвати безліч різних речей і дійти висновку, що хвилі на воді — значно складніша річ, ніж хвилі в повітрі.
Швидкість довгих хвиль із круговим рухом води зменшується на мілкому місці й збільшується на глибокому. Таким чином, коли хвиля йде до берега, де глибина менша, вона сповільнюється. Але там, де вода глибша, хвиля рухається швидше, так що ми знову стикаємося з механізмом ударної хвилі. Однак цього разу, оскільки хвиля не така проста, ударний фронт її набагато більше спотворений: хвиля «перегинається через себе» найзвичнішим для нас чином (фіг. 51.12). Саме це ми бачимо, коли хвиля набігає на берег: у ній виявляються всі притаманні природі труднощі. Нікому досі не вдалося обчислити форму хвилі в той момент, коли вона розбивається. Це дуже легко зробити, коли хвилі малі, але коли вони стають великими, все занадто ускладнюється.Цікаву властивість капілярних хвиль можна спостерігати при збуренні поверхні рухомим об'єктом. З погляду самого об'єкта вода тече повз нього, і хвилі, які врешті-решт залишаться разом із ним, завжди будуть хвилями, які якраз мають потрібну швидкість, щоб залишатися на воді разом з об'єктом. Точно так само якщо помістити об'єкт у потік, який омиватиме його, то картина хвиль виявиться стаціонарною і якраз потрібної довжини хвилі для того, щоб рухатися з тією самою швидкістю, що й вода. Але якщо групова швидкість менша за фазову, то збурення йде за потоком назад, оскільки групової швидкості недостатньо, щоб наздогнати потік. Якщо ж групова швидкість більша за фазову, то хвильова картина з'явиться перед об'єктом. Якщо пильно стежити за об'єктом, що пливе в потоці, то можна помітити попереду нього невелику рябизну, а позаду нього — довгі хвилі.
Інші цікаві явища подібного роду можна спостерігати в рідині, що ллється. Якщо, наприклад, швидко виливати молоко з пляшки, то можна помітити, як струмінь молока перетинається безліччю ліній, що перехрещуються. Це хвилі, викликані збуренням на краях пляшки; вони дуже схожі на хвилі, викликані об'єктом, що пливе за потоком. Але тепер такий ефект виникає з обох боків, тому виходить картина ліній, що перехрещуються.
Отже, ми познайомилися з деякими цікавими властивостями хвиль, з різними ускладненнями, що залежать від фазової швидкості й довжини хвилі, а також із залежністю швидкості хвилі від глибини і т. д.; все це приводить до вельми складних, а тому й цікавих явищ природи.