Часто швидкість хвилі залежить від її амплітуди, і у випадку звуку ця залежність виникає таким чином. Предмет, що рухається в повітрі, повинен зсувати його зі свого шляху, викликаючи при цьому збурення у вигляді якоїсь східчастої функції тиску, причому тиск за хвильовим фронтом виявляється вищим, ніж у незбуреній області, тобто в області, куди хвиля (яка поширюється з нормальною швидкістю) ще не дісталася. Повітря за хвильовим фронтом виявляється адіабатично стисненим, тому його температура буде вищою, ніж перед фронтом. Але швидкість звуку з температурою збільшується, тому в області позаду скачка вона виявляється більшою за швидкість звуку попереду нього.
Це означає, що будь-яке інше збурення за скачком, викликане, наприклад, постійним напором тіла чи чимось іншим, бігтиме швидше, ніж сам фронт: зі збільшенням тиску швидкість збільшується. Ця картина показана на фіг. 51.3, причому для більшої наочності додаткові збурення взято у вигляді невеликих горбочків. Ми бачимо, що області високого тиску з часом «підганяють» фронт хвилі, поки хвиля тиску врешті-решт не перетвориться на хвилю з різким фронтом. Якщо сила хвилі дуже велика, то «врешті-решт» означає — одразу ж; якщо ж хвиля доволі слабка, то це забере порівняно багато часу; зазвичай звук швидше розсіюється й завмирає, перш ніж це перетворення встигне відбутися.
Тиск, викликаний звуком нашого мовлення, дуже малий порівняно з атмосферним — лише одна мільйонна частка чи щось на кшталт цього. Але при зміні тиску на величину порядку 1 атм швидкість хвилі збільшується приблизно на 20% і «загострення» фронту хвилі відбувається відповідно швидше. У природі, вочевидь, ніщо не протікає нескінченно швидко, і те, що ми називаємо «різким» фронтом, насправді все ж має невелику товщину; він не нескінченно крутий. Відстань, на якій усе це відбувається,— порядку середньої довжини вільного пробігу молекули, але на таких відстанях хвильове рівняння стає несправедливим, адже при його виведенні ми не враховуємо молекулярної структури газу.
Повернемося знову до фіг. 51.2. Ми бачимо, що кривизну легко пояснити, якщо зрозуміти, що тиск поблизу вершини вищий, ніж далеко від неї, тому кут θ тут більший. Таким чином, кривизна виникла внаслідок залежності швидкості від сили хвилі. Наприклад, хвиля від вибуху атомної бомби протягом деякого часу рухається набагато швидше за звук, поки не відійде достатньо далеко і внаслідок розпливання не буде ослаблена такою мірою, що перепад тиску стане малим порівняно з атмосферним. При цьому швидкість фронту наближається до швидкості звуку в газі, в якому він поширюється. (Швидкість ударної хвилі завжди виявляється вищою за швидкість звуку в газі перед нею і нижчою за швидкість звуку в газі за нею. Таким чином, імпульси, що йдуть ззаду, наздоганятимуть фронт, але сам він рухається в середовищі швидше, ніж нормальна швидкість звукового сигналу. Тому лише за звуком ніхто не в змозі передбачити появу ударної хвилі, поки не стає надто пізно. Звісно, світло від вибуху бомби видно раніше, але передбачити прихід ударної хвилі неможливо, жодного звукового сигналу попереду неї немає.)
Накопичення хвиль — дуже цікаве явище, і в основному причина його полягає в тому, що після проходу однієї хвилі швидкість наступної за нею хвилі має зрости.
Розглянемо ще один приклад того самого явища. Уявіть собі довгий канал скінченної ширини й глибини, заповнений водою. Якщо з достатньою швидкістю рухати вздовж каналу поршень, то вода збиратиметься перед ним, як сніг перед снігоочисником. Тепер уявіть ситуацію, подібну до зображеної на фіг. 51.4, коли десь у каналі раптом виникає стрибок висоти рівня води. Можна показати, що довгі хвилі в каналі йдуть швидше по глибокій воді, ніж по мілкій. Тому будь-який новий поштовх або якісь інші нерегулярності в енергії, що надходить від поршня, побіжать вперед і зберуться на фронті хвилі. Теоретично ми знову врешті-решт повинні отримати різкий фронт. Однак (див. фіг. 51.4) тут виникають деякі ускладнення. Ви бачите хвилю, що йде вгору по каналу, причому поршень перебуває десь далеко з правого боку каналу. Спочатку може здатися, що це гарна хвиля, така, яку й слід очікувати, але далі вона стає гострішою і гострішою, поки не станеться те, що зображено на рисунку. Вода на поверхні починає сильно бурлити й переливатися вниз, але, що найсуттєвіше, край, як і раніше, залишається різким, і попереду нього немає жодного збурення.
Насправді хвиля на воді — річ значно складніша, ніж звук. Однак для ілюстрації ми спробуємо проаналізувати швидкість так званого високого припливу в каналі. Річ не в тому, що це дуже важливо для наших цілей (жодного узагальнення тут не буде), це лише ілюстрація того, як закони механіки, які ми добре знаємо, здатні пояснити подібне явище.
Уявіть на хвилину, що поверхня води має такий вигляд, як зображено на фіг. 51.5,а, і що на верхньому рівні h2 вона рухається зі швидкістю v, а фронт зі швидкістю u насувається на незбурену поверхню, висота якої h1. Ми хочемо визначити швидкість, з якою рухається фронт. За проміжок часу Δt вертикальна площина, що спочатку проходила через точку x1, пересунеться на відстань vΔt, тобто від x1 до x2, а фронт хвилі пройде відстань uΔt.
Застосуймо тепер закони збереження речовини та імпульсу. Візьмемо спочатку перший із них: ми бачимо, що на одиницю ширини каналу кількість речовини h2vΔt, що пройшла повз точку х1 (область, заштрихована на фіг. 51.5,б), компенсується іншою заштрихованою областю, що являє собою кількість речовини (h2—h1)uΔt. Поділивши на Δt, отримаємо vh2=u(h2—h1). Але цього ще недостатньо, оскільки, хоча нам відомі h1 і h2, ми ще не знаємо ні u, ні v, а хочемо знайти обидві величини.
Наступним кроком буде використання закону збереження імпульсу. Ми ще не торкалися питань тиску у воді та іншої гідродинаміки, але й так зрозуміло, що тиск у воді на якійсь глибині має бути якраз достатнім, щоб підтримувати стовпчик води над цією глибиною. Отже, тиск води дорівнює добутку густини ρ на g і на глибину. Оскільки тиск води зростає лінійно з глибиною, то середній тиск на площину, що проходить, наприклад, через точку x1 дорівнює 1/2ρgh2, що також являє собою середню силу на одиничну ширину й на одиничну довжину, яка штовхає площину до точки x2. Щоб отримати повну силу, що тисне на воду зліва, ми маємо ще раз помножити на h2. З іншого боку, тиск на розглянуту область справа дає протилежно спрямовану силу, яка з тих самих причин дорівнює 1/2ρgh21. Тепер ми маємо прирівняти ці сили до швидкості зміни імпульсу. Таким чином, нам потрібно з'ясувати, наскільки у випадку, зображеному на фіг. 51.5,б, імпульс більший, ніж у випадку, показаному на фіг. 51.5,а.
Ми бачимо, що додаткова маса, яка набула швидкості v, дорівнює просто ρh2uΔt—ρh2vΔt (на одиницю ширини), а множення її на v дає додатковий імпульс, який має бути прирівняний до імпульсу сили FΔt:
Це означає, що будь-яке інше збурення за скачком, викликане, наприклад, постійним напором тіла чи чимось іншим, бігтиме швидше, ніж сам фронт: зі збільшенням тиску швидкість збільшується. Ця картина показана на фіг. 51.3, причому для більшої наочності додаткові збурення взято у вигляді невеликих горбочків. Ми бачимо, що області високого тиску з часом «підганяють» фронт хвилі, поки хвиля тиску врешті-решт не перетвориться на хвилю з різким фронтом. Якщо сила хвилі дуже велика, то «врешті-решт» означає — одразу ж; якщо ж хвиля доволі слабка, то це забере порівняно багато часу; зазвичай звук швидше розсіюється й завмирає, перш ніж це перетворення встигне відбутися.Тиск, викликаний звуком нашого мовлення, дуже малий порівняно з атмосферним — лише одна мільйонна частка чи щось на кшталт цього. Але при зміні тиску на величину порядку 1 атм швидкість хвилі збільшується приблизно на 20% і «загострення» фронту хвилі відбувається відповідно швидше. У природі, вочевидь, ніщо не протікає нескінченно швидко, і те, що ми називаємо «різким» фронтом, насправді все ж має невелику товщину; він не нескінченно крутий. Відстань, на якій усе це відбувається,— порядку середньої довжини вільного пробігу молекули, але на таких відстанях хвильове рівняння стає несправедливим, адже при його виведенні ми не враховуємо молекулярної структури газу.
Повернемося знову до фіг. 51.2. Ми бачимо, що кривизну легко пояснити, якщо зрозуміти, що тиск поблизу вершини вищий, ніж далеко від неї, тому кут θ тут більший. Таким чином, кривизна виникла внаслідок залежності швидкості від сили хвилі. Наприклад, хвиля від вибуху атомної бомби протягом деякого часу рухається набагато швидше за звук, поки не відійде достатньо далеко і внаслідок розпливання не буде ослаблена такою мірою, що перепад тиску стане малим порівняно з атмосферним. При цьому швидкість фронту наближається до швидкості звуку в газі, в якому він поширюється. (Швидкість ударної хвилі завжди виявляється вищою за швидкість звуку в газі перед нею і нижчою за швидкість звуку в газі за нею. Таким чином, імпульси, що йдуть ззаду, наздоганятимуть фронт, але сам він рухається в середовищі швидше, ніж нормальна швидкість звукового сигналу. Тому лише за звуком ніхто не в змозі передбачити появу ударної хвилі, поки не стає надто пізно. Звісно, світло від вибуху бомби видно раніше, але передбачити прихід ударної хвилі неможливо, жодного звукового сигналу попереду неї немає.)
Накопичення хвиль — дуже цікаве явище, і в основному причина його полягає в тому, що після проходу однієї хвилі швидкість наступної за нею хвилі має зрости.
Розглянемо ще один приклад того самого явища. Уявіть собі довгий канал скінченної ширини й глибини, заповнений водою. Якщо з достатньою швидкістю рухати вздовж каналу поршень, то вода збиратиметься перед ним, як сніг перед снігоочисником. Тепер уявіть ситуацію, подібну до зображеної на фіг. 51.4, коли десь у каналі раптом виникає стрибок висоти рівня води. Можна показати, що довгі хвилі в каналі йдуть швидше по глибокій воді, ніж по мілкій. Тому будь-який новий поштовх або якісь інші нерегулярності в енергії, що надходить від поршня, побіжать вперед і зберуться на фронті хвилі. Теоретично ми знову врешті-решт повинні отримати різкий фронт. Однак (див. фіг. 51.4) тут виникають деякі ускладнення. Ви бачите хвилю, що йде вгору по каналу, причому поршень перебуває десь далеко з правого боку каналу. Спочатку може здатися, що це гарна хвиля, така, яку й слід очікувати, але далі вона стає гострішою і гострішою, поки не станеться те, що зображено на рисунку. Вода на поверхні починає сильно бурлити й переливатися вниз, але, що найсуттєвіше, край, як і раніше, залишається різким, і попереду нього немає жодного збурення.Насправді хвиля на воді — річ значно складніша, ніж звук. Однак для ілюстрації ми спробуємо проаналізувати швидкість так званого високого припливу в каналі. Річ не в тому, що це дуже важливо для наших цілей (жодного узагальнення тут не буде), це лише ілюстрація того, як закони механіки, які ми добре знаємо, здатні пояснити подібне явище.
Уявіть на хвилину, що поверхня води має такий вигляд, як зображено на фіг. 51.5,а, і що на верхньому рівні h2 вона рухається зі швидкістю v, а фронт зі швидкістю u насувається на незбурену поверхню, висота якої h1. Ми хочемо визначити швидкість, з якою рухається фронт. За проміжок часу Δt вертикальна площина, що спочатку проходила через точку x1, пересунеться на відстань vΔt, тобто від x1 до x2, а фронт хвилі пройде відстань uΔt.Застосуймо тепер закони збереження речовини та імпульсу. Візьмемо спочатку перший із них: ми бачимо, що на одиницю ширини каналу кількість речовини h2vΔt, що пройшла повз точку х1 (область, заштрихована на фіг. 51.5,б), компенсується іншою заштрихованою областю, що являє собою кількість речовини (h2—h1)uΔt. Поділивши на Δt, отримаємо vh2=u(h2—h1). Але цього ще недостатньо, оскільки, хоча нам відомі h1 і h2, ми ще не знаємо ні u, ні v, а хочемо знайти обидві величини.
Наступним кроком буде використання закону збереження імпульсу. Ми ще не торкалися питань тиску у воді та іншої гідродинаміки, але й так зрозуміло, що тиск у воді на якійсь глибині має бути якраз достатнім, щоб підтримувати стовпчик води над цією глибиною. Отже, тиск води дорівнює добутку густини ρ на g і на глибину. Оскільки тиск води зростає лінійно з глибиною, то середній тиск на площину, що проходить, наприклад, через точку x1 дорівнює 1/2ρgh2, що також являє собою середню силу на одиничну ширину й на одиничну довжину, яка штовхає площину до точки x2. Щоб отримати повну силу, що тисне на воду зліва, ми маємо ще раз помножити на h2. З іншого боку, тиск на розглянуту область справа дає протилежно спрямовану силу, яка з тих самих причин дорівнює 1/2ρgh21. Тепер ми маємо прирівняти ці сили до швидкості зміни імпульсу. Таким чином, нам потрібно з'ясувати, наскільки у випадку, зображеному на фіг. 51.5,б, імпульс більший, ніж у випадку, показаному на фіг. 51.5,а.
Ми бачимо, що додаткова маса, яка набула швидкості v, дорівнює просто ρh2uΔt—ρh2vΔt (на одиницю ширини), а множення її на v дає додатковий імпульс, який має бути прирівняний до імпульсу сили FΔt:
Зображення
Виключаючи з цього рівняння v підстановкою vh2 = u (h2—h1) і спрощуючи його, отримуємо остаточно u2=gh2(h1 - h2)/2h1.
Якщо різниця висот дуже мала, так що h1 і h2 приблизно однакові, то швидкість дорівнюватиме √(gh). Як ми побачимо пізніше, це справедливо лише за умови, що довжина хвилі набагато більша за глибину каналу.
Аналогічну річ можна зробити і для ударних хвиль, тільки тепер потрібно додати рівняння збереження внутрішньої енергії, тому що ударна хвиля — явище необоротне. Дійсно, якщо в задачі про високу припливну хвилю перевірити закон збереження енергії, то ми побачимо, що він не виконується. Коли різниця висот мала, то енергія майже зберігається, але щойно різниця висот стає помітнішою, виникають великі втрати. Це проявляється в падінні води й вирах, показаних на фіг. 51.4.
З погляду адіабатичного процесу в ударній хвилі теж відбувається аналогічна втрата енергії. Енергія у звуковій хвилі за ударним фронтом іде на нагрівання газу, що відповідає бурлінню води при високому приливі. Виявляється, що необхідно розв'язати три рівняння, щоб описати все це для випадку звуку, причому потрібно врахувати, що температура за ударною хвилею і перед нею, як ми бачили, не однакова.
Якщо ми спробуємо пустити високий приплив у зворотний бік (h2 < h1), то виявиться, що втрата енергії від'ємна. Але оскільки енергію взяти нізвідки, високий приплив не може підтримувати сам себе — він не стабільний. Якщо спробувати створити хвилю такого вигляду, то далі вона стає все більш і більш пласкою, адже залежність швидкості від висоти, яка раніше давала різкий фронт, у нашому випадку працюватиме у зворотний бік.
Якщо різниця висот дуже мала, так що h1 і h2 приблизно однакові, то швидкість дорівнюватиме √(gh). Як ми побачимо пізніше, це справедливо лише за умови, що довжина хвилі набагато більша за глибину каналу.
Аналогічну річ можна зробити і для ударних хвиль, тільки тепер потрібно додати рівняння збереження внутрішньої енергії, тому що ударна хвиля — явище необоротне. Дійсно, якщо в задачі про високу припливну хвилю перевірити закон збереження енергії, то ми побачимо, що він не виконується. Коли різниця висот мала, то енергія майже зберігається, але щойно різниця висот стає помітнішою, виникають великі втрати. Це проявляється в падінні води й вирах, показаних на фіг. 51.4.
З погляду адіабатичного процесу в ударній хвилі теж відбувається аналогічна втрата енергії. Енергія у звуковій хвилі за ударним фронтом іде на нагрівання газу, що відповідає бурлінню води при високому приливі. Виявляється, що необхідно розв'язати три рівняння, щоб описати все це для випадку звуку, причому потрібно врахувати, що температура за ударною хвилею і перед нею, як ми бачили, не однакова.
Якщо ми спробуємо пустити високий приплив у зворотний бік (h2 < h1), то виявиться, що втрата енергії від'ємна. Але оскільки енергію взяти нізвідки, високий приплив не може підтримувати сам себе — він не стабільний. Якщо спробувати створити хвилю такого вигляду, то далі вона стає все більш і більш пласкою, адже залежність швидкості від висоти, яка раніше давала різкий фронт, у нашому випадку працюватиме у зворотний бік.